Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
câu d:
Tam giác BCF nội tiếp (O;BC/2) có cạnh BC là đường kính
=> Tam giác BCF vuông tại F
=>góc BFC=90 độ
Xét 2 tam giác: tam giác CHF và tam giác CFB có:
góc C chung
góc CHF=góc CFB (=90 độ)
Do đó, tam giác CHF đồng dạng với tam giác CFB (g.g)
=> góc CFH=góc CBF (1)
Tứ giác ABFC nội tiếp (O;BC/2)
=> góc CFH=góc ABC (cùng chắn cung AC) (2)
Từ (1) và (2)=> góc CBF=góc ABC (3)
Mà tia BC nằm giữa tia AB và BF (4)
Từ (3) và (4)=> BC là tia phận giác của góc ABF (đpcm)
a) +) Dễ thấy: ^BAD = ^CAO (Cùng phụ ^ABC). Mà ^BAI = ^CAI nên ^OAI = ^DAI
Suy ra: ^OAI = ^DAO/2 = ^BAI - ^BAD = ^BAC/2 - 900 + ^ABC = ^BAC/2 - (^BAC+^ABC+^ACB)/2 + ^ABC
= (^ABC + ^ACB)/2 = \(\frac{\alpha-\beta}{2}=\frac{\alpha^2-\beta^2}{2\left(\alpha+\beta\right)}=\frac{\alpha^2-\beta^2}{sđ\widebat{BAC}}\) (đpcm).
+) Kẻ đường kính AG của đường tròn (O). Dễ thấy: Tứ giác BICJ nội tiếp, gọi (BICJ) cắt AC tại R khác C.
Do AK=2R nên AK = AG. Ta có: ^ARB = ^ARI + ^BRI = ^IBC + ^ICB = (^ABC+^ACB)/2 = ^ABI + ^IBC = ^ABR
=> \(\Delta\)BAR cân tại A => AB = AR. Kết hợp với AK=AG, ^BAG = ^RAK (cmt) => \(\Delta\)ABG = \(\Delta\)ARK (c.g.c)
=> ^ABG = ^ARK = 900 => ^KRC = ^KDC = 900 => Tứ giác DKCR nội tiếp
=> AD.AK = AR.AC = AI.AJ => Tứ giác DIJK nội tiếp (đpcm).
b) \(\Delta\)KAG cân tại A có phân giác AI => AI vuông góc KG hay AM vuông góc KG. Mà AM vuông góc GM
Nên K,G,M thẳng hàng => K,M,G,N thẳng hàng => AM vuông góc KN tại M
Ta thấy: M là trung điểm IJ, KM vuông góc IJ tại M nên \(\Delta\)KIJ cân tại K
Xét đường tròn (KIJ): KI = KJ, KN vuông góc IJ => KN là đường kính của (KIJ)
Mà D thuộc đường tròn (KIJ) (cmt) => ^KDN = 900 => ND vuông góc AK tại D => N,L,D thẳng hàng
Xét \(\Delta\)AKN có: AM vuông góc KN, ND vuông góc AK, AM và ND cùng đi qua L
=> L là trực tâm \(\Delta\)AKN => KL vuông góc AN (đpcm).
c) Gọi P là trực tâm của \(\Delta\)AJQ
Do \(\Delta\)KIJ cân tại K => ^KIJ = ^KJI. Có tứ giác DIJK nội tiếp => ^KIJ = ^KDJ => ^KDJ = ^KJI
Từ đó: \(\Delta\)DKJ ~ \(\Delta\)JKA (g.g) => KJ2 = KD.KA => KQ2 = KD.KA => \(\Delta\)KQD ~ \(\Delta\)KAQ (c.g.c)
Suy ra: ^QDJ = ^KDQ + ^KDJ = ^AQK + ^AJK = 1800 - ^QAJ = 1800 - ^QPJ => Tứ giác PQDJ nội tiếp
^PDJ = ^PQJ => ^PDK + ^KDJ = ^PDK + ^QJA = ^PQJ => ^PDK = ^PQJ - ^QJA = 900
=> PD vuông góc AD. Mà BC vuông góc AD tại D nên PD trùng BC hay P nằm trên BC (đpcm).
d) Ta thấy: ^ABC > ^ACB (\(\alpha>\beta\)) => ^BAD < ^CAD. Lại có: ^BAI = ^CAI, ^BAD + ^CAD = ^BAI + ^CAI = ^BAC
Suy ra ^BAD < ^BAI => B và I nằm khác khía so với AD => D thuộc [BF]
Hạ IS, IT vuông góc với AC,AB thì F thuộc [DT] => Thứ tự các điểm trên BC là B,D,F,T,C. Do đó: ^IFC = ^DFK < 900
Ta xét thứ tự các điểm trên cạnh AC:
+) A,S,E,C: Vì IS vuông góc AC, theo thứ tự này thì ^IEC > 900. Cũng dễ có: \(\Delta\)IES = \(\Delta\)IFT (Ch.cgv)
=> ^IES = ^IFT < 900 => ^IFT + ^IEC = 1800 => Tứ giác FIEC nội tiếp => ^ECF = ^DIK
Mà ^DIK = ^DJK = ^DAI = \(\frac{\alpha-\beta}{2}\) nên \(\beta=\frac{\alpha-\beta}{2}\Rightarrow\alpha=3\beta\) (*)
+) A,E,S,C: Trong TH này thì ^IEC < 900 => ^IFT + ^IEC < 1800 => ^ECF + ^EIF > 1800
=> ^ECF > ^DIK hay \(\beta>\frac{\alpha-\beta}{2}\Rightarrow\alpha< 3\beta\) (**)
Từ (*) và (**) suy ra: \(\alpha\le3\beta\) (đpcm).
DC = DA
OA = OC
Do đó OD là trung trực của đoạn thẳng AC : suy ra OD vuông góc với AC
Tứ giác OECH có góc CEO + góc CHO = 180 độ
Suy ra tứ giác OECH là tứ giác nội tiếp
a: góc ADB=1/2*180=90 độ
góc EOB+góc EDB=180 độ
=>EOBD nội tiếp
b: Xét ΔACE và ΔADC có
góc ACE=góc ADC
góc CAE chung
=>ΔACE đồng dạng với ΔADC
=>AC^2=AE*AD
c: góc EIB=góc EDB=90 độ
=>EIDB nội tiếp
=>góc IED=góc IBD; góc IDE=góc IBE
góc IBE+góc OBE=góc IBO=45 độ
ΔEAB cân tại E
=>góc EAB=góc EBA
=>góc IBE+góc EAB=45 độ
góc IDE=góc IBE
=>góc IDE+1/2*sđ cung BD=45 độ
1/2*sđ cung BC=1/2*sđ cung CD+1/2*sđ cung DB
=>góc IED+1/2*sđ cung BD=45 độ
=>góc IDE=góc IED
=>ID=IE
góc ICE=45 độ; góc EIC=90 độ
=>ΔEIC vuôngcân tại I
=>IE=IC=ID
=>ĐPCM
a: góc AEH+góc AFH=180 độ
=>AEHF nội tiếp
góc EAH+góc ACB=90 độ
góc EBC+góc ACB=90 độ
=>góc EAH=góc EBC
b: AK cắt EF tại M
AK cắt BC tại N
AH cắt (O) tại K
=>HM//AB và QN//AB
=>HM//QN
