Question

[Pham Trong Bach]

Cho đường tròn (O; R) và dây BC cố định không đi qua tâm. Trên tia đối của tia BC lấy điểm A (A khác B). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (O) (M và N là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của BC.

3) Đường thẳng qua M và vuông góc với đường thẳng ON cắt (O) tại điểm thứ hai là P. Xác định vị trí của điểm A trên tia đối của tia BC để  AMPN là hình bình hành.

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Ta có AN ⊥  NO, MP  ⊥ NO, M ∉  AN => AN // MP

Do đó AMPN là hình bình hành ó AN = MP = 2x

Tam giác ∆ANO đồng dạng với ∆NEM =>  A N N E = N O E M = > N E = 2 x 2 R  

TH 1.NE = NO – OE =>  2 x 2 R = R − R 2 − x 2 ⇔ 2 x 2 = R 2 − R R 2 − x 2  

Đặt  R 2 − x 2 = t , t ≥ 0 ⇒ x 2 = R 2 − t 2 .

PTTT 2 ( R 2 − t 2 ) = R 2 − R t ⇔ 2 t 2 − R t − R 2 = 0 ⇔ 2 t = − R t = R  

Do  t ≥ 0 ⇒ t = R ⇔ R 2 − x 2 = R ⇔ x = 0 ⇒ A ≡ B  (loại)

TH 2 NE = NO + OE =>  2 x 2 R = R + R 2 − x 2 ⇔ 2 x 2 = R 2 + R R 2 − x 2  

Đặt R 2 − x 2 = t , t ≥ 0 ⇒ x 2 = R 2 − t 2 .

PTTT 2 ( R 2 − t 2 ) = R 2 + R t ⇔ 2 t 2 + R t − R 2 = 0 ⇔ 2 t = R t = − R  

Do t ≥ 0 ⇒ 2 t = R ⇔ 2 R 2 − x 2 = R ⇔ x = R 3 2 = > A O = 2 R  (loại)

Vậy A thuộc BC, cách O một đoạn bằng 2R thì AMPN là hbh