Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi \(D\left(x;y\right)\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(2;1\right)\\\overrightarrow{AD}=\left(x-1;y+1\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=\sqrt{5}\\AD=\sqrt{\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2}\end{matrix}\right.\)
Do ABCD là hình vuông nên:
\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=0\\AB=AD\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\left(x-1\right)+y+1=0\\\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2=5\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+4\left(x-1\right)^2=5\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow y=1\\x=2\Rightarrow y=-3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}D\left(0;1\right)\\D\left(2;-3\right)\end{matrix}\right.\)
Với \(D\left(0;1\right)\Rightarrow\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}\Rightarrow C\left(2;2\right)\)
Cả 4 đáp án đều sai
Đường tròn (C) tâm \(I\left(4;3\right)\) bán kính \(R=2\)
Gọi \(A\left(2a+6;a\right)\) và \(C\left(0;c\right)\)
I là trung điểm AC \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a+6=8\\a+c=6\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\c=5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A\left(8;1\right)\\C\left(0;5\right)\end{matrix}\right.\)
\(\overrightarrow{AC}=\left(-8;4\right)=-4\left(2;-1\right)\)
\(\Rightarrow\) Đường thẳng BD nhận \(\left(2;-1\right)\) là 1 vtpt
Phương trình BD: \(2\left(x-4\right)-1\left(y-3\right)=0\Leftrightarrow2x-y-5=0\)
Gọi pt AB có dạng \(a\left(x-8\right)+b\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow ax+by-8a-b=0\)
AB là tiếp tuyến của (C) \(\Rightarrow d\left(I;AB\right)=R\)
\(\Rightarrow\frac{\left|4a+3b-8a-b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=2\Leftrightarrow\left|2a-b\right|=\sqrt{a^2+b^2}\)
\(\Leftrightarrow4a^2-4ab+b^2=a^2+b^2\Leftrightarrow3a^2-4ab=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\\3a=4b\end{matrix}\right.\) chọn \(a=4\Rightarrow b=3\)
Có 2 đường thẳng AB thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}y-1=0\\4x+3y-35=0\end{matrix}\right.\)
Tọa độ B là giao điểm AB và BD \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}y=1\\2x-y-5=0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}4x+3y-35=0\\2x-y-5=0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}B\left(3;1\right)\\B\left(5;5\right)\end{matrix}\right.\)
Ta có \(\widehat{AHC}=\widehat{AEC}=90^0\) nên 4 điểm A, H, C, E cùng thuộc đường tròn đường kính AC.
Gọi I là giao điểm của AC và BD
Ta có \(\widehat{HIE}=2\widehat{HAE}=2\left(180^0-\widehat{BCD}\right)\)
Các tứ giác AKED, AKHB nội tiếp nên \(\widehat{EKD}=\widehat{EAD}\) và \(\widehat{BKH}=\widehat{BAH}\)
Do đó \(\widehat{HKE}=180^0-\widehat{AKD}-\overrightarrow{BKH}=180^0-\overrightarrow{EAD}-\overrightarrow{BAH}=2\overrightarrow{HAE}=2\left(180^0-\overrightarrow{BCD}\right)=\overrightarrow{HIE}\)
Vậy tứ giác HKIE nội tiếp. Do đó I thuộc đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác HKE
- Gọi \(C\left(c;c-3\right)\in d\left(c>0\right)\Rightarrow I\left(\frac{c-2}{2};\frac{c-4}{2}\right)\)
Do I thuộc (C) nên có phương trình :
\(c^2-c-2=0\Leftrightarrow c=2\) V c=-1 (loại c=-1) Suy ra \(C\left(2;-1\right);I\left(0;-1\right)\)
- Điểm E, H nằm trên đường tròn đường kính AC và đường tròn (C) nên tọa độ thỏa mãn hệ phương trình :
\(\begin{cases}x^2+y^2+x+4y+3=0\\x^2+\left(y+1\right)^2=4\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=0;y=-3\\x=-\frac{8}{5};y=-\frac{11}{2}\end{cases}\)
- Vì H có hoành độ âm nên \(H\left(-\frac{8}{5};-\frac{11}{5}\right);E\left(0;-3\right)\) Suy ra \(AB:x-y+1=0;BC:x-3y-5=0\)
Tọa độ B thỏa mãn \(\begin{cases}x-y+1=0\\x-3y-5=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow B\left(-4;-3\right)\Rightarrow\overrightarrow{BA}=\left(2;2\right);\overrightarrow{BC}=\left(6;2\right)\Rightarrow\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=16>0\)
Vì \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\Rightarrow D\left(4;1\right)\)
Vậy \(B\left(-4;-3\right);C\left(2;-1\right);D\left(4;1\right)\)
Bài 2:
Gọi I là tâm hình vuông ABCD
Ta có: I là trung điểm của AC
\(\Rightarrow\begin{cases}x_I=\frac{x_A+x_C}{2}=\frac{4}{2}=2\\y_I=\frac{y_A+y_C}{2}=\frac{2+5}{2}=\frac{7}{2}\end{cases}\)
\(\Rightarrow I\left(2;\frac{7}{2}\right)\)
Gọi: \(B=\left(x;y\right)\)
\(\overrightarrow{AB}=\left(x-1;y-2\right)\)
\(\overrightarrow{IB}=\left(x-2;y-\frac{7}{2}\right)\)
\(\overrightarrow{CB}=\left(x-3;y-5\right)\)
\(\overrightarrow{AC}=\left(2;3\right)\)
Ta có: \(\begin{cases}AB\text{_|_}CB\\IB\text{_|_}AC\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CB}=0\\\overrightarrow{IB}.\overrightarrow{AC}=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}\left(x-1\right)\left(x-3\right)+\left(y-2\right)\left(y-5\right)=0\\2\left(x-2\right)+3\left(y-\frac{7}{2}\right)=0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}\left(\frac{25}{4}-\frac{3}{2}y\right)\left(\frac{17}{4}-\frac{3}{2}y\right)+\left(y-2\right)\left(y-5\right)=0\left(1\right)\\x=\frac{29}{4}-\frac{3}{2}y\left(2\right)\end{cases}\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\frac{13}{4}y^2-\frac{91}{4}y+\frac{585}{16}=0\)
\(\Leftrightarrow\) TH1: \(y=\frac{9}{2}\Rightarrow x=\frac{1}{2}\)
TH2: \(y=\frac{5}{2}\Rightarrow x=\frac{7}{2}\)
Vậy toạ độ hai đỉnh còn lại là \(\left(\frac{1}{2};\frac{9}{2}\right)\) và \(\left(\frac{7}{2};\frac{5}{2}\right)\)
Vì máy mình đánh ngoặc vuông không được nên ghi thành TH1;TH2. Chứ bạn dụng dấu ngoặc vuông cho đỡ nhé.
Đường tròn (C) tâm \(I\left(2;1\right)\) bán kính \(R=5\)
Hình vuông ngoại tiếp đường tròn \(\Rightarrow AB=2R=10\)
Gọi M là tiếp điểm của (C) và AB \(\Rightarrow\) M là trung điểm AB và \(IM=R=\frac{AB}{2}=5\) ; \(AM=\frac{AB}{2}=5\)
Do A thuộc d nên tọa độ có dạng: \(A\left(2a-15;a\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{IA}=\left(2a-17;a-1\right)\)
Áp dụng Pitago: \(AM^2+IM^2=IA^2\Rightarrow\left(2a-17\right)^2+\left(a-1\right)^2=50\)
\(\Leftrightarrow5a^2-70a+240=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=6\\a=8\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}A\left(-3;6\right)\left(loại\right)\\A\left(1;8\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{AI}=\left(1;-7\right)\) \(\Rightarrow\) phương trình BI qua I và vuông góc AI có dạng:
\(1\left(x-2\right)-7\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow x-7y+5=0\)
\(\Rightarrow B\left(7b-5;b\right)\Rightarrow\overrightarrow{IB}=\left(7b-7;b-1\right)\)
\(IB^2=IA^2=50\Rightarrow\left(7b-7\right)^2+\left(b-1\right)^2=50\)
\(\Leftrightarrow\left(b-1\right)^2=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b=0\\b=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}B\left(-5;0\right)\\B\left(9;2\right)\end{matrix}\right.\)
Gọi d' là đường thẳng qua A và vuông góc d \(\Rightarrow\) d' nhận \(\left(1;-2\right)\) là 1 vtpt
Phương trình d':
\(1\left(x-6\right)-2\left(y-5\right)=0\Leftrightarrow x-2y+4=0\)
Gọi B là giao d và d': \(\left\{{}\begin{matrix}2x+y-2=0\\x-2y+4=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(0;2\right)\)
B là trung điểm AA' nên:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_{A'}=2x_B-x_A=-6\\y_{A'}=2y_B-y_A=-1\end{matrix}\right.\)
Đáp án A
Đường tròn (C) có tâm I(4; -3) , bán kính R= 2
Tọa độ của tâm I( 4; -3) thỏa phương trình d: x+y-1= 0 . Vậy
Vậy AI là một đường chéo của hình vuông ngoại tiếp đường tròn, có bán kính R= 2.
=> 2 đường thẳng x = 2 và x = 6 là 2 tiếp tuyến của (C) .
+ Nếu A là giao điểm các đường d và x= 2 thì A( 2; -1)
+ Nếu A là giao điểm các đường (d) và x= 6 thì A( 6; -5).