Question

[Sóng Bùi]

Cho đường thẳng AB = 2a có trung điểm O. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB dựng nửa đường tròn (O) đường kính AB và nửa đường tròn (O') đường kính AO. Trên (O') lấy điểm M ( khác A và O ), tia OM cắt đường tròn (O) tại C, gọi D là giao điểm thứ hai của CA với (O')

1) CMR tam giác ADM cân.

2) Tiếp tuyến tại C của (O) cắt tia OD tại E. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng EA đối với đường tròn (O) và (O').

3) Đường thẳng AM cắt OD tại H, đường tròn ngoại tiếp tam giác COH cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N. CMR 3 điểm A,M,N thẳng hàng.

4) Tại vị trí điểm M sao cho ME // AB . Hãy tính độ dài đoạn thẳng OM theo a.

Answer 1

[Kiệt Nguyễn]

1) \(\Delta AOC\)cân tại O có OD là đường cao nên cũng là phân giác của \(\widehat{AOC}\), do đó \(\widehat{AOD}=\widehat{COD}\Rightarrow\widebat{AD}=\widebat{DM}\)

nên DA = DM. Vậy tam giác AMD cân tại D (đpcm)

2) Dễ thấy \(\Delta OEA=\Delta OEC\left(c-g-c\right)\), từ đó suy ra được \(\widehat{OAE}=\widehat{OCE}=90^0\)

Do đó \(AE\perp AB\). Vậy AE là tiếp tuyến chung của \(\left(O\right)\)và \(\left(O'\right)\)

3) Giả sử AM cắt \(\left(O\right)\)tại \(N'\). Ta có \(\Delta OAN'\)cân tại O và \(OM\perp AN'\)nên OM là đường trung trực của AN'. Từ đó ta được CA = CN'

Ta có \(\widehat{CN'A}=\widehat{CAM}\) mà \(\widehat{CAM}=\widehat{DOM}\), do đó \(\widehat{CN'H}=\widehat{COH}\). Suy ra bốn điểm C, N', O, H thuộc một đường tròn. Suy ra N' thuộc đường tròn ngoại tiếp \(\Delta CHO\). Do vậy \(N'\equiv N\)

Vậy ba điểm A, M, N thẳng hàng (đpcm)

4) Vì ME song song với AB và \(AB\perp AE\)nên \(ME\perp AE\)

Ta có hai tam giác MAO, EMA đồng dạng nên \(\frac{MO}{EA}=\frac{MA}{EM}=\frac{AO}{MA}\Rightarrow MA^2=AO.EM\)

Dễ thấy \(\Delta MEO\) cân tại M nên ME MO. = Thay vào hệ thức trên ta được\(MA^2=AO.MO\)

Đặt MO = x > 0 \(\Rightarrow MA^2=OA^2-MO^2=a^2-x^2\) 

Từ \(MA^2=AO.MO\)  suy ra \(a^2-x^2=ax\Leftrightarrow x^2+ax-a^2=0\)

Từ đó tìm được \(x=\frac{\left(\sqrt{5}-1\right)a}{2}\)

Vậy \(OM=\frac{\left(\sqrt{5}-1\right)a}{2}\)