Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(\sqrt{\frac{AM}{A_1M}}+\sqrt{\frac{BM}{B_1M}}+\sqrt{\frac{CM}{C_1M}}=\sqrt{\frac{S_2+S_3}{S_1}}+\sqrt{\frac{S_1+S_3}{S_2}}+\sqrt{\frac{S_1+S_2}{S_3}}\)
\(\ge\sqrt{\frac{\left(\sqrt{S_2}+\sqrt{S_3}\right)^2}{2S_1}}+\sqrt{\frac{\left(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_3}\right)^2}{2S_2}}+\sqrt{\frac{\left(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}\right)^2}{2S_3}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{\sqrt{S_2}+\sqrt{S_3}}{\sqrt{S_1}}+\frac{\sqrt{S_1}+\sqrt{S_3}}{\sqrt{S_2}}+\frac{\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}}{\sqrt{S_3}}\right)\frac{1}{2}\cdot6=3\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi S1 =S2=S3 <=> M là trọng tâm \(\Delta ABC\)
cho tam giác ABC. Các điểm D, E, F lần lượt thuộc AB, AC, BC. chứng minh rằng: a) diện tích ADE trên diện tích ABC bằng AD*AE trên AB*AC . b) Trong 3 tam giác ADE, BDF, CEF tồn tại 1 tam giác có diện tích không vượt quá 1/4 diện tích ABC. Khi nào cả 3 tam giác đó cùng có diện tích = 1/4 diện tích ABC
• Đặt \(S_{ABC}=S;S_{MBC}=S_1;S_{MAC}=S_2;S_{MAB}=S_3\)
• Dựng MK ⊥ BC và AH ⊥ BC
⇒ MK // AH
\(\Rightarrow\dfrac{MD}{AD}=\dfrac{MK}{AH}=\dfrac{\dfrac{1}{2}\times MK\times BC}{\dfrac{1}{2}\times AH\times BC}=\dfrac{S_1}{S}\)
\(\Rightarrow\dfrac{AM}{AD}=1-\dfrac{MD}{AD}=1-\dfrac{S_1}{S}=\dfrac{S_2+S_3}{S}\)
• Tương tự, ta cũng có: \(\dfrac{BM}{BE}=\dfrac{S_1+S_3}{S};\dfrac{CM}{CF}=\dfrac{S_1+S_2}{S}\)
• Cộng vế theo vế, ta có:
\(\dfrac{AM}{AD}+\dfrac{BM}{BE}+\dfrac{CM}{CF}=\dfrac{2\left(S_1+S_2+S_3\right)}{S}=2=const\)
Vậy ta có đpcm.
