Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT Cô si ta có:
\(x+y\ge2\sqrt{xy}=2\cdot\frac{1}{\sqrt{z}};y+z\ge2\sqrt{yz}=2\cdot\frac{1}{\sqrt{x}};z+x\ge2\sqrt{xz}=2\cdot\frac{1}{\sqrt{y}}.\)( vì xyz=1)
=> P\(\ge\)\(\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}\)+ \(\frac{2y\sqrt{y}}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{z}}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}a=y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}\\b=z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}\\c=x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}\end{cases}\left(a;b;c\ge0\right)}\)<=> \(\hept{\begin{cases}4a+b=2c+9z\sqrt{z}\\4b+c=2a+9x\sqrt{x}\\4c+a=2b+9y\sqrt{y}\end{cases}}\)
<=> \(\hept{\begin{cases}z\sqrt{z}=\frac{4a+b-2c}{9}\\x\sqrt{x}=\frac{4b+c-2a}{9}\\y\sqrt{y}=\frac{4c+a-2b}{9}\end{cases}}\)
Do đó:
P \(\ge\)\(\frac{2}{9}\cdot\left(\frac{4a+b-2c}{c}+\frac{4b+c-2a}{a}+\frac{4c+a-2b}{b}\right)\)
<=> P \(\ge\)\(\frac{2}{9}\left(4\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}\right)-6\right)\)
<=> P \(\ge\frac{2}{9}\cdot\left(4\cdot3\cdot\sqrt[3]{\frac{a}{c}\cdot\frac{b}{a}\cdot\frac{c}{b}}+3\cdot\sqrt[3]{\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}\cdot\frac{a}{b}}-6\right)\)( Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số ko âm)
<=> P \(\ge\frac{2}{9}\left(12+3-6\right)=2\)( đpcm)
Dấu = khi x=y=z=1.
\(xy+yz+zx=xyz\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)
Đặt \(\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b;\frac{1}{z}=c\) thì
\(\hept{\begin{cases}a+b+c=1\\P=\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\ge\frac{1}{16}\end{cases}}\)
Ta co:
\(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{1+b}{64}+\frac{1+c}{64}\ge\frac{3a}{16}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge\frac{3a}{16}-\frac{b}{64}-\frac{c}{64}-\frac{1}{32}\)
Từ đây ta co:
\(P\ge\left(a+b+c\right)\left(\frac{3}{16}-\frac{1}{64}-\frac{1}{64}\right)-\frac{3}{32}=\frac{1}{16}\)
3)\(...=\left[\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(1+\sqrt{xy}\right)+\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(1-\sqrt{xy}\right)}{\left(1-\sqrt{xy}\right)\left(1+\sqrt{xy}\right)}\right].\frac{1-xy}{x+xy}\)
= \(\frac{\sqrt{x}+x\sqrt{y}+\sqrt{y}+y\sqrt{x}+\sqrt{x}-x\sqrt{y}-\sqrt{y}+y\sqrt{x}}{1-xy}.\frac{1-xy}{x\left(1+y\right)}\)= \(\frac{2\sqrt{x}+2y\sqrt{x}}{x\left(1+y\right)}=\frac{2\sqrt{x}\left(1+y\right)}{x\left(1+y\right)}=\frac{2}{\sqrt{x}}\)
Đặt A=.....
Dễ dàng biến đổi \(A=\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\)
Có :\(\frac{x^2}{y-1}+4\left(y-1\right)\ge4x\)và \(\frac{y^2}{x-1}+4\left(x-1\right)\ge4y\)
Khi đó :\(A\ge4x+4y-4\left(x-1\right)-4\left(y-1\right)=8\)
Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=2\)
Phần dấu = tớ làm hơi tắt. bạn nên tb rõ nhé
\(A=\frac{\left(x^3+y^3\right)-\left(x^2+y^2\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}=\frac{x^3-x^2+y^3-y^2}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}=\frac{x^2\left(x-1\right)+y^2\left(y-1\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}=\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}.\)
Áp dụng BĐT Côsy Schwarz \(\frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}\ge\frac{\left(a_1+a_2\right)^2}{b_1+b_2}\)(Bạn có thể chứng minh được theo Bunhiacopxki - hoặc xem về BĐT Côsy Schwarz trên mạng)
cho các số dương a1=x;a2=y;b2=x-1;b2=y-1. Ta có:
\(A=\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}=\frac{\left(x+y\right)^2-4+4}{x+y-2}=x+y+2+\frac{4}{x+y-2}=\)
\(=4+\left\{\left(x+y-2\right)+\frac{4}{x+y-2}\right\}\)
Vì x+y-2 >0. Áp dụng BĐT Cô sy cho 2 số \(\left(x+y-2\right);\frac{4}{x+y-2}\)
\(A\ge4+\left\{\left(x+y-2\right)+\frac{4}{x+y-2}\right\}\ge4+2\sqrt{\left(x+y-2\right)\cdot\frac{4}{x+y-2}}=4+2\sqrt{4}=8\)
Vậy A>=8. Dấu bằng xảy ra khi x=y=2 (ĐPCM).
xin lỗi, đề bài là y^2 nhá, mình quên