Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(\frac{x^2}{x^4+yz}\le\frac{x^2}{2\sqrt{x^4.yz}}=\frac{x^2}{2x^2\sqrt{yz}}=\frac{1}{2\sqrt{yz}}\)(BĐt cosi) (1)
CMTT: \(\frac{y^2}{y^4+xz}\le\frac{1}{2\sqrt{xz}}\) (2)
\(\frac{z^2}{z^4+xy}\le\frac{1}{2\sqrt{xy}}\)(3)
Từ (1); (2) và (3) =>A = \(\frac{x^2}{x^4+yz}+\frac{y^2}{y^4+xz}+\frac{z^2}{z^4+xy}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{xz}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xy}}\right)\)
Áp dụng bđt \(ab+bc+ac\le a^2+b^2+c^2\)
cmt đúng: <=> \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Khi đó: A \(\le\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{xy+yz+xz}{xyz}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz}=\frac{3xyz}{2xyz}=\frac{3}{2}\)
Áp dụng BĐT Cô-si,ta có :
x4 + yz \(\ge\)\(2\sqrt{x^4yz}=2x^2\sqrt{yz}\); \(y^4+xz\ge2y^2\sqrt{xz}\); \(z^4+xy\ge2z^2\sqrt{xy}\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{x^4+yz}+\frac{y^2}{y^4+xz}+\frac{z^2}{z^4+xy}\le\frac{x^2}{2x^2\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{2y^2\sqrt{xz}}+\frac{z^2}{2z^2\sqrt{xy}}=\frac{1}{2\sqrt{yz}}+\frac{1}{2\sqrt{xz}}+\frac{1}{2\sqrt{xy}}\)
CM : x + y + z \(\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\)
\(\frac{x^2}{x^4+yz}+\frac{y^2}{y^4+xz}+\frac{z^2}{z^4+xy}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{2}.\frac{yz+xz+xy}{xyz}=\frac{1}{2}.\frac{3xyz}{xyz}=\frac{3}{2}\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho các cặp số dương, ta có: \(\Sigma\frac{x^2}{x^4+yz}\le\Sigma\frac{x^2}{2x^2\sqrt{yz}}=\Sigma\frac{1}{2\sqrt{yz}}\)
\(\le\frac{1}{4}\Sigma\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(=\frac{1}{2}.\frac{xy+yz+zx}{xyz}\le\frac{1}{2}.\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz}=\frac{1}{2}.\frac{3xyz}{xyz}=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1
\(P\le\frac{1}{2}\left(\Sigma\frac{1}{\sqrt{xy}}\right)\le\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{6x^2y^2z^2}\le\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{6x^2y^2z^2}=\frac{3}{2}\)
dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z=1\)
mình nhầm :) làm lại nhé
\(P\le\frac{1}{2}\left(\Sigma\frac{1}{\sqrt{xy}}\right)\le\frac{\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)^2}{6xyz}\le\frac{xy+yz+zx}{2xyz}\le\frac{x^2+y^2+z^2}{2xyz}=\frac{3}{2}\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky
\(\Rightarrow\left(x^4+yz\right)\left(1+1\right)\ge\left(x^2+\sqrt{yz}\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{x^4+yz}\le\frac{2x^2}{\left(x^2+\sqrt{yz}\right)^2}\)
Tương tự ta có : \(\hept{\begin{cases}\frac{y^2}{y^4+xz}\le\frac{2y^2}{\left(y^2+\sqrt{xz}\right)^2}\\\frac{z^2}{z^4+xy}\le\frac{2z^2}{\left(z^2+\sqrt{xy}\right)^2}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow VT\le2\left[\frac{x^2}{\left(x^2+\sqrt{yz}\right)^2}+\frac{y^2}{\left(y^2+\sqrt{xz}\right)^2}+\frac{z^2}{\left(z^2+\sqrt{xy}\right)}\right]\)
Chứng minh rằng :
\(2\left[\frac{x^2}{\left(x^2+\sqrt{yz}\right)^2}+\frac{y^2}{\left(y^2+\sqrt{xz}\right)^2}+\frac{z^2}{\left(z^2+\sqrt{xy}\right)}\right]\le\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{\left(x^2+\sqrt{yz}\right)^2}+\frac{y^2}{\left(y^2+\sqrt{xz}\right)^2}+\frac{z^2}{\left(z^2+\sqrt{xy}\right)^2}\le\frac{3}{4}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
\(\Rightarrow x^2+\sqrt{yz}\ge2\sqrt{x^2\sqrt{yz}}=2x\sqrt{\sqrt{yz}}\)
\(\Rightarrow\left(x^2+\sqrt{yz}\right)^2\ge4x^2\sqrt{yz}\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{\left(x^2+\sqrt{yz}\right)^2}\le\frac{x^2}{4x^2\sqrt{yz}}=\frac{1}{4\sqrt{yz}}\)
Tương tự ta có : \(\hept{\begin{cases}\frac{y^2}{\left(y^2+\sqrt{xz}\right)^2}\le\frac{1}{4\sqrt{xz}}\\\frac{z^2}{\left(z^2+\sqrt{zy}\right)^2}\le\frac{1}{4\sqrt{xy}}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{\left(x^2+\sqrt{yz}\right)^2}+\frac{y^2}{\left(y^2+\sqrt{xz}\right)^2}+\frac{z^2}{\left(z^2+\sqrt{xy}\right)^2}\)
\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{xz}\right)\)
Chứng minh rằng : \(\frac{1}{4}\left(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}\right)\le\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}\le3\)
Theo đề bài ta có : \(x^2+y^2+z^2=3xyz\)
\(\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}=3\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}\le3\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}\le\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{xy}}\le\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}{2}\)
Tương tự ta có : \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{\sqrt{xz}}\le\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{z}}{2}\\\frac{1}{\sqrt{xy}}\le\frac{\frac{1}{z}+\frac{1}{y}}{2}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\left(1\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
\(\Rightarrow\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}\ge2\sqrt{\frac{1}{z^2}}=\frac{2}{z}\)
Tương tự ta có :
\(\hept{\begin{cases}\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}\ge\frac{2}{x}\\\frac{x}{zy}+\frac{z}{xy}\ge\frac{2}{y}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow2\left(\frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy}\right)\ge2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}\le3\left(đpcm\right)\)
Vậy \(\frac{1}{4}\left(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}\right)\le\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow2\left[\frac{x^2}{\left(x^2+\sqrt{yz}\right)^2}+\frac{y^2}{\left(y^2+\sqrt{xz}\right)^2}+\frac{z^2}{\left(z^2+\sqrt{xy}\right)}\right]\le\frac{3}{2}\)
Mà \(VT\le2\left[\frac{x^2}{\left(x^2+\sqrt{yz}\right)^2}+\frac{y^2}{\left(y^2+\sqrt{xz}\right)^2}+\frac{z^2}{\left(z^2+\sqrt{xy}\right)}\right]\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{3}{2}\) ( đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Chúc bạn học tốt !!!
\(\text{Σ}\frac{x^2}{x^4+yz}\le\text{Σ}\frac{x^2}{2x^2\sqrt{yz}}=\text{Σ}\frac{1}{2\sqrt{yz}}\le\text{Σ}\frac{\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}{4}=\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}{2}=\frac{\frac{xy+yz+xz}{xyz}}{2}=\frac{\frac{3\left(xy+yz+xz\right)}{x^2+y^2+z^2}}{2}\)(1)
Dễ dàng CM được: \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)
Thay vào (1) -> dpcm
\(3=x^2+y^2+z^2\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\)
\(\Rightarrow xyz\le1\)
\(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}+\sqrt[3]{z^2}\le\frac{x^2+1+1}{3}+\frac{y^2+1+1}{3}+\frac{z^2+1+1}{3}=3\)
Ta co:
\(A=\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}}=\frac{x\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{xyz}}+\frac{y\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{xyz}}+\frac{z\sqrt[3]{z}}{\sqrt[3]{xyz}}\)
\(\ge x\sqrt[3]{x}+y\sqrt[3]{y}+z\sqrt[3]{z}\)
\(\Rightarrow3A\ge3\left(x\sqrt[3]{x}+y\sqrt[3]{y}+z\sqrt[3]{z}\right)\ge\left(x\sqrt[3]{x}+y\sqrt[3]{y}+z\sqrt[3]{z}\right)\left(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}+\sqrt[3]{z^2}\right)\)
\(\ge\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Rightarrow A\ge xy+yz+zx\)
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz, ta có: \(3\left(x^2+y^2+z^2\right)=\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Rightarrow x+y+z\le\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}=3=x^2+y^2+z^2\)(Do \(x^2+y^2+z^2=3\))
Ta có: \(\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{zx}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}}=\frac{x}{\sqrt[3]{yz.1}}+\frac{y}{\sqrt[3]{zx.1}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy.1}}\)
\(\ge\frac{x}{\frac{y+z+1}{3}}+\frac{y}{\frac{z+x+1}{3}}+\frac{z}{\frac{x+y+1}{3}}\)\(=\frac{3x}{y+z+1}+\frac{3y}{z+x+1}+\frac{3z}{x+y+1}\)
\(=\frac{3x^2}{xy+zx+x}+\frac{3y^2}{yz+xy+y}+\frac{3z^2}{zx+yz+z}\)\(\ge\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)+\left(x+y+z\right)}\)(Theo BĐT Cauchy - Schwarz dạng Engle)
\(\ge\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)+x^2+y^2+z^2}=\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=3=x^2+y^2+z^2\)
\(\ge xy+yz+zx\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1
ĐẶt \(\left(x,y,z\right)\rightarrow\left(a,b,c\right)\) ( cho dễ nhìn thôi ko có ý j cả :) )
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a^4+bc\ge2\sqrt{a^4bc}=2a^2\sqrt{bc}\Rightarrow\frac{a^2}{a^4+bc}\le\frac{a^2}{2a^2\sqrt{bc}}=\frac{1}{2\sqrt{bc}}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng lại :
\(P\le\frac{1}{2\sqrt{ab}}+\frac{1}{2\sqrt{bc}}+\frac{1}{2\sqrt{ac}}\). Lại theo AM-GM có
\(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\) khi đó
\(P\le\frac{1}{2\sqrt{ab}}+\frac{1}{2\sqrt{bc}}+\frac{1}{2\sqrt{ca}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\cdot\frac{ab+bc+ca}{abc}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}=\frac{1}{2}\cdot3=\frac{3}{2}\)
Xảy ra khi \(a=b=c=1\)
\(\frac{x^4}{y+3z}+\frac{y+3z}{16}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\ge4\sqrt[4]{\frac{x^4}{y+3z}.\frac{y+3z}{16}.\frac{1}{4}.\frac{1}{4}}=x\)
\(\Rightarrow\frac{x^4}{y+3z}\ge x-\frac{y+3z}{16}-\frac{1}{2}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại :
\(\frac{y^4}{z+3x}\ge y-\frac{z+3x}{16}-\frac{1}{2};\frac{z^4}{z+3y}\ge z-\frac{x+3y}{16}-\frac{1}{2}\)
Công theo vế 3 BĐT trên ta được :
\(VT\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{3}{2}\ge\frac{3}{4}.3-\frac{3}{2}=\frac{3}{4}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Chúc bạn học tốt !!!
Cách 2:
\(VT\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{4\left(x+y+z\right)}\ge\frac{\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(x+y+z\right)^2}{3}}{4\left(x+y+z\right)}\ge\frac{\left(xy+yz+zx\right)\left(x+y+z\right)}{12}\)
\(\ge\frac{\left(xy+yz+zx\right)\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}}{12}\ge\frac{3}{4}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)
v~~ ko thằng admin :(( t làm cái bài này mất gần 30 phút mà bây giờ nó éo hiện câu trả lời của tao ???? hận quá đi
bài này easy lắm bạn ơi :((
áp dụng BDT (Am-ag) mẫu ta có
\(\left(x^2+y^2\right)\ge2\sqrt{x^2y^2}=2xy\) rồi thay vào
suy ra \(\frac{1}{x^2+y^2+2}\le\frac{1}{2xy+2}\)
\(\left(y^2+z^2\right)\ge2yz\)
suy ra \(\frac{1}{y^2+z^2+2}\le\frac{1}{2yz+2}\)
tượng tự vs BDT con lại rồi + vế vs vế ta được
\(VT\le\frac{1}{2xy+2}+\frac{1}{2yz+2}+\frac{1}{2xz+2}=\frac{1}{xy+xy+1+1}+\frac{1}{yz+yz+1+1}+\frac{1}{xz+xz+1+1}\)
gọi cái \(\frac{1}{yz+yz+1+1}+.........=Pain\)
áp dụng cosi sáp cho 4 số ta được
\(\frac{1}{xy+xy+1+1}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{1}+\frac{1}{1}\right)\)
\(\frac{1}{yz+yz+1+1}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{yz}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{1}+\frac{1}{1}\right)\)
\(\frac{1}{xz+xz+1+1}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{xz}+\frac{1}{xz}+\frac{1}{1}+\frac{1}{1}\right)\)
+ vế với vế ta được
\(VT\le Pain\le\frac{1}{16}\left(\frac{2}{xz}+\frac{2}{yz}+\frac{2}{xy}+\frac{2}{2}+\frac{2}{2}+\frac{2}{2}\right)\)
\(VT\le PAIN\le\frac{1}{8}\left(\frac{1}{xz}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xy}+1+1+1\right)\)
bây giờ m đi chứng minh cái \(\frac{1}{zy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xy}\ge3\) chắc là m làm được
áp dụng BDT cô si ta có
\(\frac{1}{xz}+xz\ge2\)
\(\frac{1}{yz}+yz\ge2\)
\(\frac{1}{xz}+zx\ge2\)
+ vế với vế ta được
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}+xy+yz+zx\ge6\)
mà đề bài cho xy+yz+xz=3 suy ra
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\ge3\)
nhưng mà nó trái dấu oy :(( kệ nhé cứ thay vào nhé không sao hết bạn oy :)
thay vào ta được
\(VT\le PAIN\le\frac{1}{8}\left(3+3\right)=\frac{3}{4}\)
ĐIỀU CẦN PHẢI CHỨNG MINH :((
\(VT=\sum\frac{x^2}{x^4+yz}\le\sum\frac{x^2}{2x^2\sqrt{yz}}=\frac{1}{2}\sum\frac{1}{\sqrt{yz}}\le\frac{1}{4}\sum\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{2}\left(\frac{xy+yz+zx}{xyz}\right)\le\frac{1}{2}\left(\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz}\right)=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)