Question

[Tường Nguyễn Thế]

Cho các số nguyên dương: \(a_1;a_2;a_3;...;a_{2017}\)sao cho :

\(N=a_1+a_2+a_3+...+a_{2017}\)chia hết cho 30.

Chứng minh: \(M=a^5_1+a^5_2+a^5_3+...+a^5_{2017}\)chia hết cho 30.

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Sử dụng kết quả sau: Với \(n\in\mathbb{N}\Rightarrow n^5-n\vdots 30\)

Chứng minh:

Ta có: \(n^5-n=n(n^4-1)=n(n-1)(n+1)(n^2+1)\)

Xét thấy \(n-1,n\) là hai số nguyên liên tiếp nên \(n(n-1)\vdots 2\)

\(\Rightarrow n^5-n\vdots 2(1)\)

Xét thấy \(n-1,n,n+1\) là ba số nguyên liên tiếp nên

\(n(n-1)(n+1)\vdots 3\)

\(\Rightarrow n^5-n\vdots 3(2)\)

Xét modulo của 5 cho $n$ :

+) \(n=5k\Rightarrow n^5-n=(5k)^2-(5k)\vdots 5\)

+) \(n=5k+1\Rightarrow n-1=5k\vdots 5\Rightarrow n^5-n\vdots 5\)

+) \(n=5k+2\Rightarrow n^2+1=(5k+2)^2+1=5(5k^2+4k+1)\vdots 5\)

\(\Rightarrow n^5-n\vdots 5\)

+) \(n=5k+3\Rightarrow n^2+1=(5k+3)^2+1=5(5k^2+6k+2)\vdots 5\)

\(\Rightarrow n^5-n\vdots 5\)

+) \(n=5k+4\Rightarrow n+1=5k+5\vdots 5\)

\(\Rightarrow n^5-n\vdots 5\)

Tóm lại trong mọi TH thì \(n^5-n\vdots 5(3)\)

Từ (1);(2);(3) và (2,3,5) là 3 số đôi một nguyên tố cùng nhau nên:

\(n^5-n\vdots (2.3.5=30)\)

--------------------------------

Quay trở tại bài toán. Áp dụng kết quả trên:

\(M-N=(a_1^5-a_1)+(a_2^5-a_2)+...+(a_{2017}^5-a_{2017})\vdots 30\)

Mà \(N\vdots 30\Rightarrow M\vdots 30\)

Vậy ta có đpcm.