Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Dạng này nhìn mệt vãi:(
Do b > 0 nên chia hai vế của giả thiết cho b, ta được: \(a+\frac{2}{b}\le1\)
Bây giờ đặt \(a=x;\frac{2}{b}=y\). Bài toán trở thành:
Cho x, y là các số dương thỏa mãn \(x+y\le1\). Tìm Min:
\(P=x+y+\frac{1}{x^2}+\frac{8}{y^2}\). Quen thuộc chưa:v
Ko biết có tính sai chỗ nào không, nhưng hướng làm là vậy đó!
1 .
Từ gt : \(2ab+6bc+2ac=7abc\)và \(a,b,c>0\)
Chia cả hai vế cho abc > 0
\(\Rightarrow\frac{2}{c}+\frac{6}{a}+\frac{2}{b}=7\)
Đặt \(x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{c}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\2z+6x+2y=7\end{cases}}\)
Khi đó : \(C=\frac{4ab}{a+2b}+\frac{9ac}{a+4c}+\frac{4bc}{b+c}\)
\(=\frac{4}{2x+y}+\frac{9}{4x+z}+\frac{4}{y+z}\)
\(\Rightarrow C=\frac{4}{2x+y}+2x+y+\frac{9}{4x+z}+4x+z+\frac{4}{y+z}+y+z\)\(-\left(2x+y+4x+z+y+z\right)\)
\(=\left(\frac{2}{\sqrt{x+2y}}-\sqrt{x+2y}\right)^2+\left(\frac{3}{\sqrt{4x+z}}-\sqrt{4x+z}\right)^2\)\(+\left(\frac{2}{\sqrt{y+z}}-\sqrt{y+z}\right)^2+17\ge17\)
Khi \(x=\frac{1}{2},y=z=1\)thì \(C=17\)
Vậy GTNN của C là 17 khi a =2; b =1; c = 1
2 .
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :\(1+b^2\ge2b\)nên
\(\frac{a+1}{1+b^2}=\left(a+1\right)-\frac{b^2\left(a+1\right)}{b^2+1}\)
\(\ge\left(a+1\right)-\frac{b^2\left(a+1\right)}{2b}=a+1-\frac{ab+b}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+1}{1+b^2}\ge a+1-\frac{ab+b}{2}\left(1\right)\)
Tương tự ta có:
\(\frac{b+1}{1+c^2}\ge b+1-\frac{bc+c}{2}\left(2\right)\)
\(\frac{c+1}{1+a^2}\ge c+1-\frac{ca+a}{2}\left(3\right)\)
Cộng vế theo vế (1), (2) và (3) ta được:
\(\frac{a+1}{1+b^2}+\frac{b+1}{1+c^2}+\frac{c+1}{1+a^2}\ge3+\frac{a+b+c-ab-bc-ca}{2}\left(^∗\right)\)
Mặt khác : \(3\left(ab+bc+ca\right)\le\left(a+b+c\right)^2=9\)
\(\Rightarrow\frac{a+b+c-ab-bc-ca}{2}\ge0\)
Nên \(\left(^∗\right)\) \(\Leftrightarrow\frac{a+1}{1+b^2}+\frac{b+1}{1+c^2}+\frac{c+1}{1+a^2}\ge3\left(đpcm\right)\)
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)
Chúc bạn học tốt !!!
Làm bừa thôi nhé:)
\(A=\sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{b^2}}\)
\(\ge\sqrt{2\sqrt{a^2.\frac{1}{a^2}}}+\sqrt{2\sqrt{b^2.\frac{1}{b^2}}}\)
\(=\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=1\)
bổ sung thêm đk a+b=4
áp dụng bđt Bunhiacopxki ta có:
\(\hept{\begin{cases}\sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}}=\frac{1}{\sqrt{17}}\sqrt{\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)\cdot\left(4^2+1^2\right)}\ge\frac{1}{\sqrt{17}}\left(4a+\frac{1}{a}\right)\\\sqrt{b^2+\frac{1}{b^2}}=\frac{1}{\sqrt{17}}\sqrt{\left(b^2+\frac{1}{b^2}\right)\left(4^2+1\right)}\ge\frac{1}{\sqrt{17}}\left(4b+\frac{1}{b}\right)\end{cases}}\)
khi đó ta được \(A\ge\frac{1}{\sqrt{17}}\left[4\left(a+b\right)+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\right]\)
ta để sy thấy \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)do đó áp dụng bđt Cauchy vfa giả thiết ta được
\(A\ge\frac{1}{\sqrt{17}}\left[4\left(a+b\right)+\frac{4}{a+b}\right]=\frac{1}{\sqrt{17}}\left[\frac{a+b}{4}+\frac{4}{a+b}+\frac{15\left(a+b\right)}{4}\right]\)\(\ge\frac{1}{\sqrt{17}}\left[2+15\right]=\sqrt{17}\)
dấu đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{a}{4}=\frac{1}{a}\\\frac{b}{4}=\frac{1}{b}\end{cases}\Leftrightarrow a=b=2}\)
vì (a-1)2 ≥ 0 nên a2 +1 ≥ 2a ∀mọi x (1)
vì (b-1)2 ≥ 0 nên b2 +1 ≥ 2b ∀ mọi x (2)
từ 1 và 2 ⇒ a2+b2 ≥ 2a+2b
⇒ A≥ 2(a+b)=2
dấu''=' xảy ra khi a=b=1/2
Chỉ làm được 1 tý thôi:
\(a+b+1=8ab\Rightarrow\frac{a+b+1}{ab}=\frac{8ab}{ab}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{b}+\frac{1}{a}+\frac{1}{ab}=8.\)
Đáp án là 8 á. xảy ra khi a=b=\(\frac{1}{2}\) nhưng mình k biết cách làm.