Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Từ \(x\left(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)+y\left(\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}\right)+z\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)=-2\) ta có:
\(x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2+2xyz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y=0\\y+z=0\\z+x=0\end{matrix}\right.\).
Không mất tính tổng quát, giả sử x + y = 0
\(\Leftrightarrow x=-y\)
\(\Leftrightarrow x^3=-y^3\).
Kết hợp với \(x^3+y^3+z^3=1\) ta có \(z^3=1\Leftrightarrow z=1\).
Vậy \(P=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{-y}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{1}=1\).
phân tích gt sau đó suy ra x+y+x=0
từ đây tính đc x+y=? y+z=? x+z=?
ta được kết quả là'; -2006
Xét \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
\(x^3+y^3+z^3-3xyz=0\)
\(\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+z^3-3xyz=0\)
\(\left(x+y\right)^3+z^3-3xy\left(x+y+z\right)=0\)
\(\left(x+y+z\right)\left(x^2+2xy+y^2-xy-yz+z^2\right)-3xy\left(x+y+z\right)=0\)
\(\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz\right)=0\)
TH1:\(x+y+z=0\)
\(\Rightarrow x+y=-z;y+z=-x;z+x=-y\left(1\right)\)
Thay (1) vô pt cần tính:
\(\frac{2016xyz}{-z.-x.-y}=\frac{2016xyz}{-\left(xyz\right)}=-2016\)
TH2:\(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz=0\)
Nhân 2 vế với 2
\(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz=0\)
\(x^2-2xy+y^2+x^2-2xz+z^2+y^2-2yz+z^2=0\)
\(\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2+\left(y-z\right)^2=0\)
Do VT dương
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2=0\\\left(x-z\right)^2=0\\\left(y-z\right)^2=0\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x-y=0\\x-z=0\\y-z=0\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x=y\\x=z\\y=z\end{cases}}\Rightarrow x=y=z\)
Thay y,z ở pt cần tính là x
\(\Rightarrow\frac{2016x.x.x}{\left(x+x\right)\left(x+x\right)\left(x+x\right)}=\frac{2016x^3}{2x.2x.2x}=\frac{2016x^3}{8x^3}=\frac{2016}{8}=252\)
Vậy pt có thể = -2016 khi x + y + z = 0
pt có thể = 252 khi \(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz=0\)
\(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
⇔ \(\left(x+y\right)^3+z^3-3x^2y-3xy^2-3xyz=0\)
⇔ \(\left(x+y+z\right)\left[\left(x+y\right)^2-z\left(x+y\right)+z^2\right]-3xy\left(x+y+z\right)=0\)
⇔ \(\left(x+y+z\right)\left(x^2+2xy+y^2-xz-yz+z^2-3xy\right)=0\)
⇔ \(\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)=0\)
⇔ \(\left(x+y+z\right)\left(x^2-2xy+y^2+z^2-2xz+x^2+y^2-2yz+z^2\right)=0\) ⇔ \(\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]=0\)
Do : x , y , z là ba số thực phân biệt , ta có :
\(x+y+z=0\)
⇔ \(x+y=-z;y+z=-x;x+z=-y\)
Khi đó , ta có : \(P=\dfrac{2016xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}=\dfrac{2016xyz}{-xyz}=-2016\)
X3 + Y3 + Z3 = 3XYZ
<=> X3 + Y3 + Z3 - 3XYZ = 0
<=> ( X3 + Y3 ) + Z3 - 3XYZ = 0
<=> ( X + Y )3 - 3XY( X + Y ) + Z3 - 3XYZ = 0
<=> [ ( X + Y )3 + Z3 ] - 3XY( X + Y + Z ) = 0
<=> ( X + Y + Z )[ ( X + Y )2 - ( X + Y ).Z + Z2 - 3XY ] = 0
<=> ( X + Y + Z )( X2 + Y2 + Z2 - XY - YZ - XZ ) = 0
<=> \(\orbr{\begin{cases}X+Y+Z=0\\X^2+Y^2+Z^2-XY-YZ-XZ=0\end{cases}}\)
+) X + Y + Z = 0 => \(\hept{\begin{cases}X+Y=-Z\\Y+Z=-X\\X+Z=-Y\end{cases}}\)
KHI ĐÓ : \(M=\left(1+\frac{X}{Y}\right)\left(1+\frac{Y}{Z}\right)\left(1+\frac{Z}{X}\right)=\left(\frac{X+Y}{Y}\right)\left(\frac{Y+Z}{Z}\right)\left(\frac{X+Z}{X}\right)=\frac{-Z}{Y}\cdot\frac{-X}{Z}\cdot\frac{-Y}{X}=-1\)
+) X2 + Y2 + Z2 - XY - YZ - XZ = 0
<=> 2( X2 + Y2 + Z2 - XY - YZ - XZ ) = 0
<=> 2X2 + 2Y2 + 2Z2 - 2XY - 2YZ - 2XZ = 0
<=> ( X2 - 2XY + Y2 ) + ( Y2 - 2YZ + Z2 ) + ( X2 - 2XZ + Z2 ) = 0
<=> ( X - Y )2 + ( Y - Z )2 + ( X - Z )2 = 0 (1)
DỄ DÀNG CHỨNG MINH (1) ≥ 0 ∀ X,Y,Z
DẤU "=" XẢY RA <=> X = Y = Z
KHI ĐÓ : \(M=\left(1+\frac{X}{Y}\right)\left(1+\frac{Y}{Z}\right)\left(1+\frac{Z}{X}\right)=\left(1+\frac{Y}{Y}\right)\left(1+\frac{Z}{Z}\right)\left(1+\frac{X}{X}\right)=2\cdot2\cdot2=8\)
\(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
\(x^3+y^3+z^3-3xyz=0\)
\(\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz\right)=0\)
\(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz=0\left(x+y+z\ne0\right)\)
\(2\times\left(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz\right)=0\times2\)
\(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz-2yz=0\)
\(x^2-2xy+y^2+x^2-2xz+z^2+y^2-2yz+z^2=0\)
\(\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2+\left(y-z\right)^2=0\)
\(\left[\begin{array}{nghiempt}x-y=0\\x-z=0\\y-z=0\end{array}\right.\)
\(\left[\begin{array}{nghiempt}x=y\\x=z\\y=z\end{array}\right.\)
x = y = z
\(P=\left(1+\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\left(1+\frac{x}{z}\right)\)
\(=\left(1+\frac{x}{x}\right)\left(1+\frac{y}{y}\right)\left(1+\frac{z}{z}\right)\)
\(=\left(1+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)\)
\(=2^3\)
\(=8\)
Biến đổi tương đương giả thiết: \(\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]=0\) (xét hiệu 2 vế, cái đẳng thức này quen thuộc nên bạn tự biến đổi)
Do x, y, z dương nên x + y + z > 0. Do đó để đẳng thức trong giả thiết xảy ra thì \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow x=y=z\). Thay y, z bởi x vào M ta được M = 3.
Mình nêu hướng làm thôi!
x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz
<=> (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 -xy -yz - zx) = 0
vì x+y+z khác 0 => x^2 + y^2 + z^2 -xy -yz - zx = 0
nhân 2 vế cho 2 => (x - y)^2 + (y - z)^2 + (z -x)^2 = 0
=> x = y = z
thay vào P ta dc: P= xxx/(2x.2x.2x) = x^3/8x^3 = 1/8
Ta có x3 - y3 + z3 + 3xyz
= (x - y)3 + 3xy(x - y) + z3 + 3xyz
= [(x - y)3 + z3] + [3xy(x - y) + 3xyz]
= (x - y + z)[(x - y)2 - (x - y)z + z2] + 3xy(x - y + z)
= (x - y + z)[x2 - 2xy + y2 - xz + yz + z2] + 3xy(x - y + z)
= (x - y + z)(x2 + y2 + z2 + xy - xz + yz)
= 2(x2 + y2 + z2 + xy - xz + yz) (vì x - y+ z = 2)
Lại có (x + y)2 + (y + z)2 + (z - x)2
= x2 + 2xy + y2 + y2 + 2yz + z2 + z2 - 2xz + z2
= 2x2 + 2y2 + 2z2 + 2xy + 2yz - 2xz
= 2(x2 + y2 + z2 + xy - xz + yz)
Khi đó P = \(\frac{2\left(x^2+y^2+z^2+xy-xz+yz\right)}{2\left(x^2+y^2+z^2+xy-xz+yz\right)}=1\)
=-2016 đúng ko?
Đề chưa chuẩn: tuy nhiên đánh vào -2016 => đáp án đúng:
Vì bản chất như sau:
thỏa ĐK ban đầu x^3+y^3+z^3=3xzy
Từ HĐT=>
\(\orbr{\begin{cases}x+y+z=0\left(1\right)\\x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz=0\left(2\right)\end{cases}}\)
=>(1)&(2) đều có cặp nghiệm x=y=z=0 khi đó P không xác định
do vậy đề thiếu điều kiện x,y,z không đồng thời =0:(*)
Nếu thêm đk (*) giải tiếp
(2) vô nghiệm
do vậy khi đó chỉ có nghiệm duy nhất của (1)
x+y=-z
x+z=-y
z+y=-x
Thay vào biểu thwucs P=-2016