Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Để ý, ta thấy: \(ab+bc+ca-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=-\frac{\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2}{6}\le0\)
do đó từ giả thiết, ta suy ra \(ab+bc+ca\le3\). Như vậy:
\(\frac{ab}{\sqrt{c^3+3}}\le\frac{ab}{\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(b+c\right)}}\)
Áp dụng BĐT AM-GM . Ta có:
\(\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{b+c}\right)\)
Thiết lập hai BĐT tương tự và cộng lại, ta suy ra dãy đánh giá sau:
\(\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{bc}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{ca}{\sqrt{b^2+3}}\le\frac{1}{2}\left[\left(\frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{b+c}\right)+\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{ca}{a+b}\right)+\left(\frac{ca}{b+c}+\frac{ab}{b+c}\right)\right]\)
\(\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{bc}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{ca}{\sqrt{b^2+3}}\le\frac{a+b+c}{2}\)
Từ đó với lưu ý: a + b + c = 3 . Ta suy ra ĐPCM
Lời giải:
Áp dụng hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM ta có:
$3(ab+bc+ac)\leq (a+b+c)^2=9\Rightarrow ab+bc+ac\leq 3$. Do đó:
\(\text{VT}\leq \frac{a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ac}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+ab+bc+ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+ab+bc+ac}}\)
\(=\frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{b}{\sqrt{(b+c)(b+a)}}+\frac{c}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}\)
\(\leq \frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{b}{b+a}+\frac{b}{b+c}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a}\right)=\frac{3}{2}\)
(theo BĐT AM-GM)
Do đó ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
Giải theo pp UCT:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$(a^2+3)(1+3)\geq (a+3)^2\Rightarrow \sqrt{a^2+3}\geq \frac{a+3}{2}$
$\Rightarrow \frac{a}{\sqrt{a^2+3}}\leq \frac{2a}{a+3}$
Ta sẽ chứng minh:
$\frac{a}{a+3}\leq \frac{1}{4}+\frac{3}{16}(a-1)$
$\Leftrightarrow \frac{3}{4}(a-1)^2\geq 0$ (luôn đúng với mọi $a>0$)
Do đó: $\frac{a}{\sqrt{a^2+3}}\leq \frac{1}{2}+\frac{3}{8}(a-1)$
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế thu được:
\(\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+3}}\leq \sum [\frac{1}{2}+\frac{3}{8}(a-1)]=\frac{3}{2}+\frac{3}{8}(a+b+c-3)=\frac{3}{2}\)
\(a^2+b^2\ge2ab;b^2+c^2\ge2bc;c^2+a^2\ge2ca.\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\le\frac{3^2}{3}=3\)
Khi đó \(c^2+3\ge c^2+ab+bc+ca=\left(b+c\right)\left(a+c\right)\Leftrightarrow\sqrt{c^2+3}\ge\sqrt{b+c}\sqrt{a+c}\)
\(a^2+3\ge a^2+ab+bc+ca=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\Leftrightarrow\sqrt{a^2+c}\ge\sqrt{\left(a+b\right)}\sqrt{a+c}\)
\(b^2+3\ge b^2+ab+bc+ca=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\Leftrightarrow\sqrt{b^2+3}\ge\sqrt{a+b}\sqrt{b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{bc}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{ca}{\sqrt{b^2+3}}\le\frac{ab}{\sqrt{b+c}\sqrt{a+c}}+\frac{bc}{\sqrt{a+b}\sqrt{a+c}}+\frac{ca}{\sqrt{a+b}\sqrt{b+c}}\)*
áp dụng bđt Cauchy ngược dấu
\(\sqrt{\frac{1}{a+b}}.\sqrt{\frac{1}{a+c}}\le\frac{\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}}{2}\Leftrightarrow\frac{2}{\sqrt{a+b}\sqrt{a+c}}\le\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{2bc}{\sqrt{a+b}\sqrt{a+c}}\le\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}\)
Chứng minh tương tự \(\frac{2ab}{\sqrt{a+c}\sqrt{b+c}}\le\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\)
\(\frac{2ca}{\sqrt{b+c}\sqrt{a+b}}\le\frac{ca}{b+c}+\frac{ca}{a+b}\)
Kết hợp với * ta có
\(\frac{2ab}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{2bc}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{2ca}{\sqrt{b^2+3}}\le\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{a+c}+\frac{bc}{a+b}+\frac{ca}{a+b}+\frac{ca}{b+c}\)
\(\Leftrightarrow2\left(\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{bc}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{ca}{\sqrt{b^2+3}}\right)=\frac{bc+ca}{a+b}+\frac{ab+bc}{a+c}+\frac{ab+ca}{b+c}=a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{bc}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{ca}{\sqrt{b^2+3}}\le\frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}.\)
nhầm xíu dòng thứ 2 từ dưới lên
\(2\left(...\right)\ge\frac{ab}{..}...\)=...
\(7\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)=6\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)+3\ge7\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\le3\)Áp dụng BĐT AM-GM ta có :
\(A=\frac{1}{\sqrt{a^3+b^3+1}}+\frac{1}{\sqrt{b^3c^3+1+1}}+\frac{4\sqrt{3}}{c^6+1+2a^3+8}\)
\(\le\frac{1}{\sqrt{3ab}}+\frac{1}{\sqrt{3bc}}+\frac{4\sqrt{3}}{2c^3+2a^3+8}=\frac{1}{\sqrt{3ab}}+\frac{1}{\sqrt{3bc}}+\frac{2\sqrt{3}}{c^3+a^3+4}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{3ab}}+\frac{1}{\sqrt{3bc}}+\frac{2\sqrt{3}}{c^3+a^3+1+1+1+1}\)
\(\le\frac{1}{\sqrt{3ab}}+\frac{1}{\sqrt{3bc}}+\frac{2\sqrt{3}}{6\sqrt{ac}}=\frac{1}{\sqrt{3ab}}+\frac{1}{\sqrt{3bc}}+\frac{1}{\sqrt{3ac}}\)\(=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{ac}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}\right)\)
\(\le\frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{3\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\right)}=\sqrt{\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\right)}\le\sqrt{3}\) (Bunhiacopxki)
Dấu "=" xảy ra\(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
PS : Thánh cx đc phết ha; chế đc bài này tui mới khâm phục :)))
nó ko chém đâu anh nó chép trong toán tuổi thơ đấy,thk này khốn nạn lắm
Vì a,b,c là số thực dương nên \(\sqrt{a^2}=a;\sqrt{b^2}=b;\sqrt{c^2}\)=c. Vậy ta có
\(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\)=\(\frac{a}{a+1}-1+\frac{b}{b+1}-1\)+\(\frac{c}{c+1}-1+3\)
=3-( \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\)) =A
ta có bdt \(9\le\left(a+1+b+1+c+1\right)\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\right)\)(dễ dàng chứng mình bằng bdt cosi).
=>\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\ge\)\(\frac{9}{3+\sqrt{3}}\)=> A\(\le3-\frac{9}{3+\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}=\frac{3}{\sqrt{3}+1}\)
dấu = khi a=b=c=\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
1)
Ta có: \(M=\Sigma_{cyc}\frac{\sqrt{3}\left(a+b+4c\right)}{\sqrt{3\left(a+b\right)\left(a+b+4c\right)}}\ge\Sigma_{cyc}\frac{\sqrt{3}\left(a+b+4c\right)}{\frac{3\left(a+b\right)+\left(a+b+4c\right)}{2}}=\Sigma_{cyc}\frac{\sqrt{3}\left(a+b+4c\right)}{2\left(a+b+c\right)}=3\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
2)
\(\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\left(\frac{2a}{ab+1}\right)^2}=\Sigma_{cyc}\frac{2a}{\sqrt[3]{2a\left(ab+1\right)^2}}\ge\Sigma_{cyc}\frac{2a}{\frac{2a+\left(ab+1\right)+\left(ab+1\right)}{3}}=3\Sigma_{cyc}\frac{a}{ab+a+1}\)
Ta có bổ đề: \(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}=1\left(abc=1\right)\)
\(\Rightarrow\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\left(\frac{2a}{ab+1}\right)^2}\ge3\)
1. ĐKXĐ: ...
Đặt \(2\sqrt{x+2}+\sqrt{4x+1}=t\ge\sqrt{7}\)
\(\Rightarrow t^2=8x+9+4\sqrt{4x^2+9x+2}\)
\(\Rightarrow2x+\sqrt{4x^2+9x+2}=\frac{t^2-9}{4}\)
Phương trình trở thành:
\(\frac{t^2-9}{4}+3=t\)
\(\Leftrightarrow t^2-4t+3=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=1\left(l\right)\\t=3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow4\sqrt{4x^2+9x+2}=t^2-\left(8x+9\right)=-8x\) (\(x\le0\))
\(\Leftrightarrow\sqrt{4x^2+9x+2}=-2x\)
\(\Leftrightarrow4x^2+9x+2=4x^2\Rightarrow x=-\frac{2}{9}\)
Bài 2:
Ta có: \(a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\Rightarrow3\ge a+b+c\)
Do \(\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}\ge\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\)
Nên BĐT sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra rằng:
\(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ge ab+bc+ca\)
Thật vậy, ta có:
\(\sqrt{a}+\sqrt{a}+a^2\ge3a\) ; \(\sqrt{b}+\sqrt{b}+b^2\ge3b\) ; \(\sqrt{c}+\sqrt{c}+c^2\ge3c\)
\(\Rightarrow2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)+a^2+b^2+c^2\ge3\left(a+b+c\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)+a^2+b^2+c^2\ge a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ge ab+bc+ca\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Theo đề ra ta có :
\(ab+bc+ca-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=-\left[\frac{\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2}{6}\right]\le0\)
và : \(ab+bc+ca\le3\)
Suy ra : \(\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}\le\frac{ab}{\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(b+c\right)}}\)
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta được :
\(\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{b+c}\right)\)
Thiết lập 2 đẳng thức tương tự, cộng về theo về, ta có :
\(\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{bc}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{ca}{\sqrt{b^2+3}}\le\frac{1}{2}\left[\left(\frac{ab}{c+a}+\frac{bc}{c+a}\right)+\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{ca}{a+b}\right)+\left(\frac{ca}{b+c}+\frac{ab}{b+c}\right)\right]\)
và : \(\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{bc}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{ca}{\sqrt{b^2+3}}\le\frac{a+b+c}{2}\)
Mà : \(a+b+c=3\)( theo đề bài ) , suy ra đpcm
ở dòng thứ 3 qua dòng thứ 4 bạn sai nhé. đáng lẽ là \(\ge\)