CH
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 10 2021
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(P=\sum \sqrt{\frac{ab}{c+ab}}=\sum \sqrt{\frac{ab}{c(a+b+c)+ab}}=\sum \sqrt{\frac{ab}{(c+a)(c+b)}}\)
\(\leq \sum \frac{1}{2}\left(\frac{a}{c+a}+\frac{b}{c+b}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a}\right)=\frac{3}{2}\)
Vậy $P_{\max}=\frac{3}{2}$ khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
I
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 12 2021
Do \(a^2+b^2+c^2=1\Rightarrow0\le a;b;c\le1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\le0\\b^{2011}\le b\\c^{2011}\le c\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow T\le a+b+c-ab-bc-ca=\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)+1-abc\le1-abc\le1\)
\(T_{max}=1\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right)\) và các hoán vị
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 4 2022
\(A=\sqrt{2b\left(a+1\right)}+\sqrt{2c\left(b+1\right)}+\sqrt{2a\left(c+1\right)}\)
\(A=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}.2\sqrt{4b\left(a+1\right)}+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}.2\sqrt{4c\left(b+1\right)}+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}.2\sqrt{4a\left(c+1\right)}\)
\(A\le\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(4b+a+1\right)+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(4c+b+1\right)+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(4a+c+1\right)\)
\(A\le\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left[5\left(a+b+c\right)+3\right]=2\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
TT
5
TN
1 tháng 5 2019
\(a=b=c=1\rightarrow P=5\)ta se cm P=5 la gtln cua P that vay ta se cm
\(5p^3+27r\ge18pq\Leftrightarrow5p^3+27r-18pq\ge0\).theo bdt schur
\(LHS\ge5p^3+3p\left(4q-p^2\right)-18pq=2p\left(p^2-3q\right)\ge0\)
Vay \(P_{max}=5\leftrightarrow a=b=c=1\)
30 tháng 12 2021
\(\dfrac{ab}{\sqrt{ab+2c}}=\dfrac{ab}{\sqrt{ab+\left(a+b+c\right)c}}=\dfrac{ab}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}=ab\cdot\sqrt{\dfrac{1}{a+b}\cdot\dfrac{1}{b+c}}\le ab\cdot\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{ab}{a+b}+\dfrac{ab}{b+c}\right)\)
CMTT: \(\dfrac{bc}{\sqrt{bc+2a}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{bc}{a+b}+\dfrac{bc}{a+c}\right);\dfrac{ac}{\sqrt{ac+2b}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{ac}{b+c}+\dfrac{ac}{b+a}\right)\)
\(\Leftrightarrow P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{ab}{c+a}+\dfrac{ab}{c+b}+\dfrac{bc}{b+a}+\dfrac{bc}{c+a}+\dfrac{ac}{b+c}+\dfrac{ac}{b+c}\right)\\ \Leftrightarrow P\le\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{b\left(a+c\right)}{a+c}+\dfrac{a\left(b+c\right)}{b+c}+\dfrac{c\left(a+b\right)}{a+b}\right]=\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)=1\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{2}{3}\)
8 tháng 6 2016
Ta có: \(\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}}{2}\)
\(\frac{ca}{\sqrt{b+ac}}=\frac{ca}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{\frac{ca}{a+b}+\frac{ca}{b+c}}{2}\)
\(\frac{ab}{\sqrt{c+ab}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}}{2}\)
Cộng 3 vế ta được: \(P\le\frac{\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}+\frac{ca}{a+b}+\frac{ca}{b+c}+\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}}{2}\)
\(=\frac{\frac{c\left(a+b\right)}{a+b}+\frac{b\left(a+c\right)}{a+c}+\frac{a\left(b+c\right)}{b+c}}{2}=\frac{a+b+c}{2}=\frac{1}{2}\)
Vậy MinP = 1/2
8 tháng 6 2016
\(\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{a.1+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{a\left(a+b+c\right)+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}\)
9 tháng 12 2018
2) \(S=a+\frac{1}{a}=\frac{15a}{16}+\left(\frac{a}{16}+\frac{1}{a}\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(S\ge\frac{15a}{16}+2.\sqrt{\frac{a}{16}.\frac{1}{a}}=\frac{15.4}{16}+2.\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{15}{4}+2.\frac{1}{4}=\frac{15}{4}+\frac{1}{2}=\frac{15}{4}+\frac{2}{4}=\frac{17}{4}\)
\(S=\frac{17}{4}\Leftrightarrow a=4\)
Vậy \(S_{min}=\frac{17}{4}\Leftrightarrow a=4\)
T
9 tháng 12 2018
kudo shinichi sao cách làm giống của thầy Hồng Trí Quang vậy bạn?
\(S=a+\frac{1}{a}=\frac{15}{16}a+\left(\frac{a}{16}+\frac{1}{a}\right)\ge\frac{15}{16}a+2\sqrt{\frac{1.a}{16.a}}=\frac{15}{16}a+2.\frac{1}{4}\)
\(=\frac{15}{16}.4+\frac{1}{2}=\frac{17}{4}\Leftrightarrow a=4\)
Dấu "=" xảy ra khi a = 4
Vậy \(S_{min}=\frac{17}{4}\Leftrightarrow a=4\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{2}{3}a^2+\frac{3}{2}b^2\ge2ab\)
\(\frac{b^2}{2}+2c^2\ge2bc\)
\(3c^2+\frac{a^2}{3}\ge2ac\)
\(\Rightarrow2A\le a^2+2b^2+5c^2=22\Rightarrow A\le11\)
\("="\Leftrightarrow a=3;b=2;c=1\)