Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ko mất tính tổng quát giả sử \(a\ge b\ge c\),
Let \(f\left(x\right)=x^2\) là hàm lồi trên \(\left(0;2\right)\) và \(\left(2,1,0\right)›\left(a,b,c\right)\)
Áp dụng Bđt Karamata ta có:
\(5=2^2+1^2+0^2\ge a^2+b^2+c^2\)
Hay ta có ĐPCM
Ta có:
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=\frac{x+y}{c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=\frac{x+y}{-a-b}\)
\(\Leftrightarrow x\left(b^2+2ab\right)+y\left(a^2+2ab\right)=0\left(1\right)\)\
Ta cần chứng minh:
\(xa^2+yb^2=\left(x+y\right)c^2\)
\(\Leftrightarrow xa^2+yb^2=\left(x+y\right)\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x\left(b^2+2ab\right)+y\left(a^2+2ab\right)=0\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) ta có ĐPCM
1,
\(A=1+a+\frac{1}{b}+\frac{a}{b}+1+b+\frac{1}{a}+\frac{b}{a}\)
\(\ge1+1+2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}+a+b+\frac{a+b}{ab}=4+a+b+\frac{4\left(a+b\right)}{\left(a+b\right)^2}=4+a+b+\frac{4}{a+b}\)
lại có \(\left(1+1\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\Rightarrow a+b\le\sqrt{2}\)
\(4+a+b+\frac{4}{a+b}=4+\left(a+b+\frac{2}{a+b}\right)+\frac{2}{a+b}\ge4+2\sqrt{2}+\sqrt{2}=4+3\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow A\ge4+3\sqrt{2}\)
câu 2
ta có:\(\left(2b^2+a^2\right)\left(2+1\right)\ge\left(2b+a\right)^2\Rightarrow3c\ge a+2b\)
\(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{4}{2b}\ge\frac{9}{a+2b}\ge\frac{9}{3c}=\frac{3}{c}\left(Q.E.D\right)\)
Đặt: \(a=\frac{1+x}{1-x};b=\frac{1+y}{1-y};c=\frac{1+z}{1-z}\)
\(\Rightarrow-1< x,y,z< 1\)
Theo đề bài thì \(abc=1\)
\(\Rightarrow\frac{1+x}{1-x}.\frac{1+y}{1-y}.\frac{1+z}{1-z}=1\)
\(\Rightarrow x+y+z=-xyz\)
Thế lại bài toán ta có:
\(\text{ Σ}\frac{a\left(3a+1\right)}{\left(a+1\right)^2}=\text{ Σ}\frac{\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\left(3.\frac{1+x}{1-x}+1\right)}{\left(\frac{1+x}{1-x}+1\right)^2}=\text{ Σ}\frac{x^2+3x+2}{2}\)
\(=\frac{x^2+y^2+z^2+3\left(x+y+z\right)}{2}+3\)
\(=3+\frac{x^2+y^2+z^2-3xyz}{2}\)
\(\ge3+\frac{3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}-3xyz}{2}\)
\(=3+\frac{3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}.\left(1-\sqrt[3]{xyz}\right)}{2}\ge3\)
PS: Nè cô
Nè cô Bùi Thị Vân - Trang của Bùi Thị Vân - Học toán với OnlineMath
