Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có : \(Sin\frac{A}{2}=Sin\widehat{BAM}=Sin\widehat{CAM}=\frac{BH}{AB}=\frac{CK}{CA}\)
\(\Rightarrow sin\frac{A}{2}=\frac{BH}{b}=\frac{CK}{c}\Rightarrow sin^2\frac{A}{2}=\frac{BH.CK}{bc}\)
Lại có : \(BH\le BM;CK\le CM\)
\(\Rightarrow sin^2\frac{A}{2}\le\frac{BM.CM}{bc}\le\frac{\frac{\left(BM+CM\right)^2}{4}}{bc}=\frac{\frac{BC^2}{4}}{bc}=\frac{a^2}{4bc}\)
\(\Rightarrow sin\frac{A}{2}\le\frac{a}{2\sqrt{bc}}\) (đpcm)
Kẽ phân giác AD của tam giác ABC, \(AD=l\)
Ta có:
\(S_{ABC}=S_{ABD}+S_{ACD}=\frac{c.l.sin\frac{A}{2}}{2}+\frac{b.l.sin\frac{A}{2}}{2}=\frac{l}{2}.sin\frac{A}{2}.\left(b+c\right)\left(1\right)\)
Ta lại có:
\(\frac{a.l}{2}\ge\frac{a.h_a}{2}=S_{ABC}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{a.l}{2}\ge\frac{l}{2}.sin\frac{A}{2}.\left(b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow sin\frac{A}{2}\le\frac{a}{b+c}\le\frac{a}{2\sqrt{bc}}\)
minh biet lam cau b)
ke phan giac AD , BM vuong goc AD , CN vuong goc AD
sin \(\frac{A}{2}\) =\(\frac{BM}{AB}=\frac{CN}{AC}=\frac{BM+CN}{AB+AC}\)
ma BM\(\le BD,CN\le CD\Rightarrow BM+CN\le BC\)
=> sin \(\frac{A}{2}\le\frac{BC}{AB+AC}\le\frac{a}{b+c}\)
dau = xay ra <=> AD vuong goc BC => AD la duong phan giac ,la duong cao => tam giac ABC can tai A => AB=AC => b=c
tương tự sin \(\frac{B}{2}\le\frac{b}{a+c};sin\frac{C}{2}\le\frac{c}{a+b}\)
=>\(sin\frac{A}{2}\cdot sin\frac{B}{2}\cdot sin\frac{C}{2}\le\frac{a\cdot b\cdot c}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)}\)
ap dung cosi cjo 2 so duong b+c\(\ge2\sqrt{bc};c+a\ge2\sqrt{ac};a+b\ge2\sqrt{ab}\)
=> \(\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)\ge8abc\)
\(\Rightarrow sin\frac{A}{2}\cdot sin\frac{B}{2}\cdot sin\frac{C}{2}\le\frac{abc}{8abc}=\frac{1}{8}\)
dau = xay ra <=> a=b=c hay tam giac ABC deu
a) Xét 2 tam giác vuông AMB và ANC có: \(\widehat{MAB}=\widehat{NAC}\) ( do AD là tia phân giác ^A )
\(\Rightarrow\)\(\Delta AMB~\Delta ANC\) ( g-g ) \(\Rightarrow\)\(\frac{BM}{AB}=\frac{CN}{AC}\)
b) Theo bđt 3 điểm ta có: \(\hept{\begin{cases}BM+DM\le BD\\CN+DN\le CD\end{cases}}\)\(\Rightarrow\)\(BM+CN+DM+DN\le BC\)
\(\Rightarrow\)\(BM+CN\le BC\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}M\in BD,AD\\N\in CD,AD\end{cases}}\)\(\Rightarrow\)\(M\equiv N\equiv D\)\(\Rightarrow\)\(BD\perp AD;CD\perp AD\) hay tam giác ABC có AD vừa là đường phân giác vừa là đường cao => tam giác ABC cân tại A
c) Có: \(\sin\left(\frac{A}{2}\right)=\frac{BM}{AB}=\frac{CN}{AC}=\frac{BM+CN}{AB+AC}\le\frac{BC}{AB+AC}\le\frac{BC}{2\sqrt{AB.AC}}\)
Dấu "=" xảy ra khi tam giác ABC cân tại A
