Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Vì ab+bc+ca=1
\(\Rightarrow a^2+1\)
\(=a^2+ab+bc+ca\)
\(=\left(a^2+ab\right)+\left(ac+bc\right)\)
\(=a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)\)
\(=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)
Tương tự ta được \(\begin{cases}b^2+1=\left(b+a\right)\left(b+c\right)\\c^2+1=\left(c+a\right)\left(c+b\right)\end{cases}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+a\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\)
\(=\sqrt{\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2}\)
\(=\left|\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right|\)
Mặt khác a;b;c là số hữa tỉ
\(\Rightarrow\begin{cases}a+b\\b+c\\c+a\end{cases}\) là số hữu tỉ
\(\Rightarrow\left|\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right|\) là số hữu tỉ
=> đpcm
\(P=\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}\)
\(=\sqrt{\left(a^2+ab+bc+ca\right)\left(b^2+ab+bc+ca\right)\left(c^2+ca+ab+bc\right)}\)
\(=\sqrt{\left(a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)\right)\left(b\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)\right)\left(c\left(a+c\right)+b\left(a+c\right)\right)}\)
\(=\sqrt{\left(a+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}=\sqrt{\left(a+b\right)^2\left(a+c\right)^2\left(b+c\right)^2}\)
\(=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)
vì a,b,c là sô số hữu tỉ\(\Rightarrow a+b,a+c,b+c\)là số hữu tỉ \(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)là số hữu tỉ
\(\Rightarrow P\)là số hữu tỉ (đpcm)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-2\left(ab+1\right)+\left(\frac{ab+1}{a+b}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-\frac{ab+1}{a+b}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow ab+1=\left(a+b\right)^2\Rightarrow\sqrt{ab+1}=a+b\in Q\left(Q.E.D\right)\)
thay 1 bởi ab+bc+ca
ta có :Q=\(\sqrt{\left(a^2+ab+bc+ca\right)\left(b^2+ab+bc+ca\right)\left(c^2+ab+bc+ca\right)}\)
ta thấy \(a^2+ab+bc+ca=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)
\(b^2+ab+bc+ca=\left(b+c\right)\left(a+b\right)\)
\(c^2+ab+bc+ca=\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)
=> Q= \(\sqrt{\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2}\)=\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)là một số hữu tỉ vì a,c,b là các số hữu tỉ
Với ab + ac + bc = 1
Ta có :
a2+1=a2+ab+ac+bc=(a2+ab)+(ac+bc)
=a(a+b)+c(a+b)=(a+c)(a+b)
Tương tự, ta có:
b2+1=(b+a)(b+c)
c2+1=(c+a)(c+b)
Do đó:
(a2+1)(b2+1)(c2+1)=(a+c)(a+b)(b+c)(b+a)(c+a)(c+b)
=(a+b)2(a+c)2(b+c)2=|(a+b)(a+c)(b+c)|
Do a, b, c là số hữu tỷ, do đó :
|(a+b)(a+c)(b+c)| là số hữu tỷ. (đpcm)
thay 1 bởi \(ab+bc+ca\)
Ta có : \(\sqrt{\left(a^2+ab+bc+ca\right)\left(b^2+ab+bc+ca\right)\left(c^2+ab+bc+ca\right)}\)
Ta thấy : \(a^2+ab+bc+ca=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)
\(b^2+ab+bc+ca=\left(b+c\right)\left(a+b\right)\)
\(c^2+ab+bc+ca=\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2}=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)Là một số hữu tỉ vì\(a;b;c\)là các số hữu tỉ
\(M=\sqrt{\frac{\left(a^2+2020\right)\left(b^2+2020\right)}{c^2+2020}}\)
\(=\sqrt{\frac{\left(a^2+ab+bc+ac\right)\left(b^2+ab+bc+ac\right)}{c^2+ab+bc+ac}}\)
\(=\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\left(b+a\right)}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)
\(=a+b\) là 1 số hữu tỉ
=> M là 1 số hữu tỉ (đpcm)