Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
`Answer:`
\(\frac{xy}{ay+bx}=\frac{yz}{bz+cy}=\frac{zx}{cx+ax}=\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}\left(1\right)\)
Theo đề ra, có: \(\frac{xy}{ay+bx}=\frac{yz}{bz+cy}=\frac{zx}{cx+az}\)
\(\Rightarrow\frac{xyz}{ayz+bxz}=\frac{xyz}{bxz+cxy}=\frac{xyz}{cxy+ayz}\)
\(\Rightarrow ayz+bxz=bxz+cxy=cxy+ayz\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}ayz+bxz=bxz+cxy\\ayz+bxz=cxy+ayz\\bxz+cxy=cxy+ayz\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}ayz=cxy\\bxz=cxy\\bxz=ayz\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}az=cx\\bz=cy\\bx=ay\end{cases}}\left(2\right)\)
Thế (2) và (1): \(\frac{xy}{2ay}=\frac{yz}{2bz}=\frac{xz}{2cx}=\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\Rightarrow\frac{x}{2a}=\frac{y}{2b}=\frac{z}{2c}=\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}\left(3\right)\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{4a^2}=\frac{y^2}{4b^2}=\frac{z^2}{4c^2}=\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}=\frac{x^2+y^2+z^2}{4a^2+4b^2+4c^2}\)
\(\Rightarrow\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{1}{4}\)
Thế (3) vào (2): \(\frac{x}{2a}=\frac{y}{2b}=\frac{z}{2c}=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{a}{2}\\y=\frac{b}{2}\\z=\frac{c}{2}\end{cases}}\)
\(\frac{xy}{ay+bx}=\frac{yz}{bz+cy}=\frac{zx}{cx+az}=\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=\frac{z}{c}+\frac{x}{a}\)
\(\hept{\begin{cases}\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\Rightarrow\frac{x}{a}=\frac{z}{c}\\\frac{z}{c}+\frac{x}{a}=\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\Rightarrow\frac{x}{a}=\frac{y}{b}\\\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=\frac{z}{c}+\frac{x}{a}\Rightarrow\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\end{cases}}\Rightarrow\frac{x}{a}=\frac{z}{c}=\frac{y}{b}.\text{đăt}k=\frac{x}{a}=\frac{z}{c}=\frac{y}{b}\Rightarrow x=ak,z=ck,y=bk\)
ta có: \(\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{k^2.\left(x^2+y^2+z^2\right)}{\left(x^2+y^2+z^2\right)}=k^2\Rightarrow k^2=2k\Rightarrow k^2-2k=0\Rightarrow k.\left(k-2\right)=0\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}k=0\\k=2\end{cases}\text{mà a,b,c và x,y,z khác 0. }\Rightarrow k=2\Rightarrow x=2a,y=2b,z=2c}\)
p/s: bài nì khó chơi vc =.=" sai sót bỏ qua ^^'
Từ giả thiết suy ra (ay+bx)/xy = (bz+cy)/yz =(cx+az)/xz hay a/x =b/y =c/z.
dặt x/a =y=b =z/c =k suy ra x =ak; y=bk; z=ck. thay vào biểu thức bài cho tìm được k=1/2
vậy x =a/2; y=b/2; z=c/2
\(\frac{xy}{ay+bx}\)=\(\frac{yz}{bz+cy}\)=\(\frac{zx}{cx+az}\left(1\right)\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{xyz}{ayz+bxz}\)=\(\frac{xyz}{bzx+cyx}\)=\(\frac{zyx}{cxy+azy}\)
\(\Rightarrow\)\(ayz+bxz=bzx+cyx=cxy+azy\)
\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}ayz+bxz=bxz+cyx\\bzx+cyx=cxy+azy\\ayz+bxz=cxy+azy\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}ayz=cyx\\bzx=azy\\bxz=cxy\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}az=cx\\bx=ay\\bz=cy\end{cases}\left(2\right)}\)
thay (2) vào (1)
\(\Rightarrow\)\(\frac{xy}{2ay}\)=\(\frac{yz}{2bz}\)=\(\frac{zx}{2cx}\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{x}{2a}=\frac{y}{2b}=\frac{z}{2c}\)\(=\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}\left(3\right)\)
\(\Rightarrow\left(\frac{x}{2a}\right)^2=\left(\frac{y}{2b}\right)^2=\left(\frac{z}{2c}\right)^2\)
\(\Rightarrow\text{}\text{}\)\(\frac{x^2}{4a^2}=\frac{y^2}{4b^2}=\frac{z^2}{4c^2}\)
theo quy luật của dãy số bằng nhau, nên
\(\frac{x^2}{4a^2}=\frac{y^2}{4b^2}=\frac{z^2}{4c^2}=\)\(\frac{x^2+y^2+z^2}{4a^2+4b^2+4c^2}=\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)}{4\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{1}{4}\left(4\right)\)
từ (3) và (4)
\(\Rightarrow\)\(\frac{x}{2a}=\frac{y}{2b}=\frac{z}{2c}=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{a}{2}\\y=\frac{b}{2}\\c=\frac{c}{2}\end{cases}}\)
