Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
câu a,mình ko biết nhưng câu b bạn cộng 1+b cho số hạng đầu áp dụng cô si,các số hạng khác tương tự rồi cộng vế theo vế,ta có điều phải c/m
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: \(\frac{a}{1+9b^2}+\frac{b}{1+9c^2}+\frac{c}{1+9a^2}=\left(a-\frac{9ab^2}{1+9b^2}\right)+\left(b-\frac{9bc^2}{1+9c^2}\right)+\left(c-\frac{9ca^2}{1+9a^2}\right)\)\(\ge\left(a-\frac{9ab^2}{6b}\right)+\left(b-\frac{9bc^2}{6c}\right)+\left(c-\frac{9ca^2}{6a}\right)=\left(a+b+c\right)-\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2}\)\(\ge\left(a+b+c\right)-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1/3
Ta có
\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge a\)
\(\frac{b^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge b\)
\(\frac{c^2}{c+a}+\frac{c+a}{4}\ge c\)
Cộng vế theo vế ta được
\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}+\frac{a+b+c}{2}\ge a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{a+b+c}{2}=\frac{1}{2}\)
Đạt được khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Sang học 24 tìm ai tên Perfect Blue nhé t làm bên đó rồi đưa link thì lỗi ==" , tìm tên đăng nhập springtime ấy
\(2\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right)\ge\frac{1+a}{1-a}+\frac{1+b}{1-b}+\frac{1+c}{1-c}\)
Thay thế \(a+b+c=1\)
\(\Leftrightarrow2\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right)\ge\frac{2a+b+c}{b+c}+\frac{a+2b+c}{a+c}+\frac{a+b+2c}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow2\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right)\ge\frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{a+c}+\frac{2c}{a+b}+3\)
\(\Leftrightarrow\frac{2b}{a}+\frac{2c}{b}+\frac{2a}{c}\ge\frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{a+c}+\frac{2c}{a+b}+3\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{2b}{a}-\frac{2b}{a+c}\right)+\left(\frac{2c}{b}-\frac{2c}{a+b}\right)+\left(\frac{2a}{c}-\frac{2a}{b+c}\right)\ge3\)
\(\Leftrightarrow\frac{2bc}{a\left(a+c\right)}+\frac{2ca}{b\left(a+b\right)}+\frac{2ab}{c\left(b+c\right)}\ge3\)
\(\Leftrightarrow\frac{bc}{a\left(a+c\right)}+\frac{ca}{b\left(a+b\right)}+\frac{ab}{c\left(b+c\right)}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(bc\right)^2}{abc\left(a+c\right)}+\frac{\left(ca\right)^2}{abc\left(a+b\right)}+\frac{\left(ab\right)^2}{abc\left(b+c\right)}\ge\frac{3}{2}\)
Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số
\(\Rightarrow\frac{\left(bc\right)^2}{abc\left(a+c\right)}+\frac{\left(ca\right)^2}{abc\left(a+b\right)}+\frac{\left(ab\right)^2}{abc\left(b+c\right)}\)
\(\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{abc\left(a+b+c+a+b+c\right)}=\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2abc}\)
Chứng minh rằng : \(\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2abc}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)^2\ge6abc\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)^2\ge3abc\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2ab^2c+2abc^2+2a^2bc\ge3abc\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)\ge3abc\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\ge3abc\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge abc\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 bộ số thực không âm
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2b^2+b^2c^2\ge2\sqrt{a^2b^4c^2}=2ab^2c\\b^2c^2+c^2a^2\ge2\sqrt{a^2b^2c^4}=2abc^2\\a^2b^2+c^2a^2\ge2\sqrt{a^2b^2c^2}=2a^2bc\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\ge2abc\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge abc\left(đpcm\right)\)
Vì \(\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2abc}\ge\frac{3}{2}\)
Vậy \(\frac{\left(bc\right)^2}{abc\left(a+c\right)}+\frac{\left(ca\right)^2}{abc\left(a+b\right)}+\frac{\left(ab\right)^2}{abc\left(b+c\right)}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow2\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right)\ge\frac{1+a}{1-a}+\frac{1+b}{1-b}+\frac{1+c}{1-c}\left(đpcm\right)\)
Chúc bạn học tốt !!!
Ta có; \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{a+b}.\frac{a+b}{4}}=a\)
Tương tự : \(\frac{b^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge b\)
\(\frac{c^2}{c+a}+\frac{c+a}{4}\ge c\)
Cộng từng vế ta có:
\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}+\frac{a+b+c}{2}\ge a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{a+b+c}{2}=\frac{1}{2}\)
\(VT=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\ge\frac{1}{2}\left(\frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{c+a}\right)=\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)