Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu 1:
a: \(\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)\)
\(=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3-3a^2b-3ab^2\)
\(=a^3+b^3\)
b: \(a^3+b^3+c^3-3abc\)
\(=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)\)
* Đặt tên các biểu thức theo thứ tự là A,B,C,D,E.
Câu a)
Theo hằng đẳng thức đáng nhớ ta có:
\(a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b)(b+c)(c+a)\)
\(=(a+b+c)^3-3[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc]\)
\(=(a+b+c)^3-3[ab(a+b+c)+bc(b+c+a)+ca(c+a+b)-abc]\)
\(=(a+b+c)^3-3[(a+b+c)(ab+bc+ac)]+3abc\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)^3-3(ab+bc+ac)(a+b+c)\)
\(=(a+b+c)[(a+b+c)^2-3(ab+bc+ac)]\)
\(=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)\) (*)
Do đó:
\(A=\frac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)}{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac}=a+b+c\)
Câu b)
\(x^3-y^3+z^3+3xyz=x^3+(-y)^3+z^3-3x(-y)z\)
Sử dụng kết quả (*) của câu a. Với \(a=x, b=-y, c=z\)
\(\Rightarrow x^3+(-y)^3+z^3-3x(-y)z=(x-y+z)(x^2+y^2+z^2+xy+yz-xz)\)
Mặt khác xét mẫu số:
\((x+y)^2+(y+z)^2+(x-z)^2=x^2+2xy+y^2+y^2+2yz+z^2+x^2-2xz+z^2\)
\(=2(x^2+y^2+z^2+xy+yz-xz)\)
Do đó: \(B=\frac{(x-y+z)(x^2+y^2+z^2+xy+yz-xz)}{2(x^2+y^2+z^2+xy+yz-xz)}=\frac{x-y+z}{2}\)
Câu c) Sử dụng kết quả (*) của phần a:
\(x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)\)
Và mẫu số:
\((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=2(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)\)
Do đó: \(C=\frac{(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)}{2(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)}=\frac{x+y+z}{2}\)
Câu d)
Xét tử số:
\(a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)\)
\(=a^2(b-c)-b^2[(b-c)+(a-b)]+c^2(a-b)\)
\(=(b-c)(a^2-b^2)-(b^2-c^2)(a-b)\)
\(=(b-c)(a-b)(a+b)-(b-c)(b+c)(a-b)\)
\(=(a-b)(b-c)[a+b-(b+c)]=(a-b)(b-c)(a-c)\) (1)
Xét mẫu số:
\(a^4(b^2-c^2)+b^4(c^2-a^2)+c^4(a^2-b^2)\)
\(=a^4(b^2-c^2)-b^4[(b^2-c^2)+(a^2-b^2)]+c^4(a^2-b^2)\)
\(=(a^4-b^4)(b^2-c^2)-(b^4-c^4)(a^2-b^2)\)
\(=(a^2-b^2)(a^2+b^2)(b^2-c^2)-(b^2-c^2)(b^2+c^2)(a^2-b^2)\)
\(=(a^2-b^2)(b^2-c^2)[a^2+b^2-(b^2+c^2)]\)
\(=(a^2-b^2)(b^2-c^2)(a^2-c^2)\)
\(=(a-b)(b-c)(a-c)(a+b)(b+c)(c+a)\)(2)
Từ (1)(2) suy ra \(D=\frac{1}{(a+b)(b+c)(c+a)}\)
Câu e)
Theo phần d ta có:
\(TS=(a-b)(b-c)(a-c)\)
\(MS=ab^2-ac^2-b^3+bc^2\)
\(=b^2(a-b)-c^2(a-b)=(a-b)(b^2-c^2)=(a-b)(b-c)(b+c)\)
Do đó: \(E=\frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{(a-b)(b-c)(b+c)}=\frac{a-c}{b+c}\)
Đặt \(P=\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}\)
\(P=\dfrac{\left(abc\right)^2}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{\left(abc\right)^2}{b^3\left(c+a\right)}+\dfrac{\left(abc\right)^2}{c^3\left(a+b\right)}\)
\(P=\dfrac{\left(bc\right)^2}{a\left(b+c\right)}+\dfrac{\left(ca\right)^2}{b\left(c+a\right)}+\dfrac{\left(ab\right)^2}{c\left(a+b\right)}\)
\(P\ge\dfrac{\left(bc+ca+ab\right)^2}{a\left(b+c\right)+b\left(c+a\right)+c\left(a+b\right)}\) (BĐT B.C.S)
\(=\dfrac{ab+bc+ca}{2}\) \(\ge\dfrac{3\sqrt[3]{abbcca}}{2}=\dfrac{3}{2}\) (do \(abc=1\)).
ĐTXR \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Từ \(\dfrac{a-\left(c-b\right)}{b-c}+\dfrac{b-\left(a-c\right)}{c-a}+\dfrac{c-\left(b-a\right)}{a-b}=3\)
\(=>\dfrac{a}{b-c}+1+\dfrac{b}{c-a}+1+\dfrac{c}{a-b}+1=3\)
\(=>\dfrac{a}{b-c}-\dfrac{b}{a-c}-\dfrac{c}{b-a}=0\)
\(=>\dfrac{a}{b-c}=\dfrac{b}{a-c}+\dfrac{c}{b-a}=\dfrac{b^2-ab+ac-c^2}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}\)
Nhân cả 2 vế với \(\dfrac{1}{b-c}\) ta được
\(\dfrac{a}{\left(b-c\right)^2}=\dfrac{b^2-ab+ac-c^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\left(1\right)\)
Tương tự ta có:
\(\dfrac{b}{\left(c-a\right)^2}=\dfrac{c^2-bc+bc-a^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\left(2\right)\)
\(\dfrac{c}{\left(a-b\right)^2}=\dfrac{a^2-ca+cb-c^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\left(3\right)\)
Cộng theo vế (1);(2);(3) ta có ĐPCM
CHÚC BẠN HỌC TỐT.........
thử bài bất :D
Ta có: \(\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{b+c}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}.\dfrac{a^3}{2^3}.\dfrac{\left(b+c\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) ( AM-GM cho 5 số ) (*)
Hoàn toàn tương tự:
\(\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{c+a}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}.\dfrac{b^3}{2^3}.\dfrac{\left(c+a\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) (AM-GM cho 5 số) (**)
\(\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{a+b}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}.\dfrac{c^3}{2^3}.\dfrac{\left(a+b\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) (AM-GM cho 5 số) (***)
Cộng (*),(**),(***) vế theo vế ta được:
\(P+\dfrac{3}{2}\left(a+b+c\right)+\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{4}\ge\dfrac{15}{2}\) \(\Leftrightarrow P+2\left(a+b+c\right)\ge\dfrac{15}{2}\)
Mà: \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\) ( AM-GM 3 số )
Từ đây: \(\Rightarrow P\ge\dfrac{15}{2}-2\left(a+b+c\right)=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
1. \(a^3+b^3+c^3+d^3=2\left(c^3-d^3\right)+c^3+d^3=3c^3-d^3\) :D
3) Biến đổi tương đương:
\(8\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b\right)^3+\left(b+c\right)^3+\left(a+c\right)^3\) (1)
\(\Leftrightarrow\left(a^3+b^3\right)+\left(b^3+c^3\right)+\left(a^3+c^3\right)+6\left(a^3+c^3+b^3\right)\)
\(\ge\left(a^3+b^3\right)+\left(b^3+c^3\right)+\left(a^3+c^3\right)+3ab\left(a+b\right)+3bc\left(b+c\right)+3ac\left(a+c\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ac\left(a+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[a^3+b^3-ab\left(a+b\right)\right]+\left[a^3+c^3-ac\left(a+c\right)\right]+\left[b^3+c^3-bc\left(b+c\right)\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2+\left(a+c\right)\left(a-c\right)^2+\left(b+c\right)\left(b-c\right)^2\ge0\) luôn đúng do a, b, c > 0
=> (1) đúng
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c
4) Ta có: a+b>c ; b+c>a; a+c>b
Xét \(\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c}>\dfrac{1}{a+b+c}+\dfrac{1}{b+c+a}=\dfrac{2}{a+b+c}>\dfrac{2}{a+b+a+b}=\dfrac{1}{a+b}\)
Tương tự: \(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}>\dfrac{1}{b+c}\)
\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}>\dfrac{1}{a+c}\)
Vậy suy ra được điều phải chứng minh
a)\(\dfrac{a}{b+c}< \dfrac{2a}{a+b+c}\) tương tự ta có ĐPCM
b)chính nó là BĐT Schur bậc 3 cách c/m nhiều vô kể
b ơi giải đầy đủ giúp m đc ko?
còn câu b) thì c/m giúp m cách nào đó nha
m mới học phần này nên chưa chắc kiến thức lắm nên giúp m nha