Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Vì a ; b ; c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên ta có : \(\hept{\begin{cases}b+c>a\\a+c>b\\a+b>c\end{cases}}\) (BĐT tam giác)
\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}< 1\Rightarrow\frac{a}{b+c}< \frac{2a}{a+b+c}\) (1)
\(\Rightarrow\frac{b}{a+c}< 1\Rightarrow\frac{b}{a+c}>\frac{2b}{a+b+c}\) (2)
\(\Rightarrow\frac{c}{a+b}< 1\Rightarrow\frac{c}{a+b}< \frac{2c}{a+b+c}\) (3)
Cộng các vế tương ứng của (1) ; (2) ; (3) lại ta được :
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\) (ĐPCM)
ADTCDTSBN:
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{b+c+a+c+a+b}=\frac{a+b+c}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\)
vi \(\frac{1}{2}\)<2=>\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< 2\)
Vì a, b, c là 3 cạnh tam giác nên a, b, c >0 và a <b+c ; b< c+a, c < a+b
Dùng bđt với x, y > 0 ; x< y( tức x/y < 1) ta có x /y < x +m < y+m :
ta có a>0 ; b+c>0 và a < b+c => a/ b+c < a +a/a+b+c = 2a/a+b+c
tương tự b/c+a < 2b/a+b+c ; c/a+b <2c/a+b+c
Cộng từng vế 3 bđt trên sẽ ra bn nhé.
Vì a,b,c là 3 cạnh của một tam giác nên ta có:
a>0 \(\Rightarrow\)a<b+c \(\Rightarrow\)a+a<a+b+c\(\Rightarrow\)2a<a+b+c (1)
b>0 \(\Rightarrow\)b<c+a \(\Rightarrow\)b+b<a+b+c\(\Rightarrow\)2b<a+b+c (2)
c>0 \(\Rightarrow\)c<a+b \(\Rightarrow\)c+c<a+b+c\(\Rightarrow\)2c<a+b+c (3)
Từ (1);(2);(3) \(\Rightarrow\)\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}\)
\(=\frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}< 2\)
\(\frac{a}{b+c}\)+\(\frac{b}{c+a}\)\(\frac{c}{a+b}\)
=\(\frac{a}{b}\)+\(\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\)
=\(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\)
Vì hai p/s nghịch đảo luôn lớn hơn hoặc bằng 2(lên lớp 8 sẽ có công thức)
nên nó phải luôn lớn hơn hoặc bằng 2
Ta có: \(\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\left(1\right)\)
Vì \(\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\Leftrightarrow\left(a+c\right)\left(a+b\right)>a\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)>a\left(a+b\right)+ac\Leftrightarrow c\left(a+b\right)>ac\Leftrightarrow a+b>a\) (luôn đúng)
Vậy ta cũng có: \(\frac{b}{b+c}< \frac{a+b}{a+b+c}\left(2\right);\frac{c}{a+b}< \frac{b+c}{a+b+c}\left(3\right)\)
Cộng theo vế của (1);(2) và (3) ta dc DPCM
Lớp 7 (1) cần được c/m
có vẻ ĐK cạnh tam giác không tác dụng gì nhỉ
\(\frac{a}{b}=\frac{b}{3c}=\frac{c}{9a}=k\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=b.k\\b=c.3k\\c=c.9k\end{cases}\Leftrightarrow abc=abc.27k^3.}\)
\(\Leftrightarrow k=\frac{1}{3}\Rightarrow\frac{b}{3c}=\frac{1}{3}\Rightarrow b=c.\)
Bài hình do ngại, mình chụp ảnh ko đưa lên đây dc. nên thôi nhé .
Vì a, b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác
=> \(\hept{\begin{cases}a+b>c\\b+c>a\\c+a>b\end{cases}}\)(bđt)
=>\(\frac{a}{b}\)\(< \frac{a+m}{b+m}\)\(\left(\frac{a}{b}< 1;a,b,m>0\right)\)
=> \(\frac{a}{b+c}< \frac{a+a}{a+b+c}=\frac{2a}{a+b+c}\)
làm tương tự 2 cái còn lại
cộng vế đẳng thức trên ta đc :
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}< \)\(\frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}\)\(=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
=>\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}< 2\)
=> đpcm
Bài 1 :
a ) Vì tam giác ABC có chu vi bằng 24
=> AB + AC + BC = 24
hay a + b + c = 24
Vì 3 cạnh của tam giác ABC tỉ lệ với 3,4,5
=> a/3 = b/4 = c/5
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
a/3 = b/4 = c/5 = ( a + b + c ) / ( 3 + 4 + 5 ) = 24/12 = 2
=> a = 6 ; b = 8 ; c = 10
b ) Vì a = 6 => a2 = 36
b = 8 => b2 = 64
c = 10 => c2 = 100
MÀ 100 = 36 + 64 hay c2 = a2 + b2
Xét tam giác ABC có c2 = a2 + b2 ( cmt )
=> tam giác ABC là tam giác vuông ( định lí đảo định lí pytago )
Vậy ...
Bài 2 :
Đặt a/b = c/d = t ( t khác 0 ) => a = bt ; c = dt
Khi đó :
\(\frac{5a+5b}{5b}=\frac{5bt+5b}{5b}=\frac{5b\left(t+1\right)}{5b}=t+1\)( 1 )
\(\frac{c^2+cd}{cd}=\frac{\left(dt\right)^2+dtd}{dtd}=\frac{d^2t^2+d^2t}{d^2t}=t+1\)( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) ta có dpcm
b ) ( chứng minh tương tự )
1)\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{b}+1=\frac{c}{d}+1\Leftrightarrow\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}\)
\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow ad=bc\Rightarrow ac-ad=ac-bc\Leftrightarrow a\left(c-d\right)=c\left(a-b\right)\Rightarrow\frac{a}{a-b}=\frac{c}{c-d}\)
2) Gọi độ dài các cạnh của tam giác đó là a,b,c thì a : b : c = 3 : 4 : 5 ; a + b + c = 36
\(\Rightarrow\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}=\frac{a+b+c}{3+4+5}=\frac{36}{12}=3\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=3.3=9\\b=3.4=12\\c=3.5=15\end{cases}}\).Vậy tam giác đó có 3 cạnh là 9 cm ; 12 cm ; 15 cm
3)\(\hept{\begin{cases}a:b:c:d=3:4:5:6\\a+b+c+d=3,6\end{cases}\Rightarrow\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}=\frac{d}{6}=\frac{a+b+c+d}{3+4+5+6}=\frac{3,6}{18}=0,2}\)
=> a = 0,2.3 = 0,6 ; b = 0,2.4 = 0,8 ; c = 0,2.5 = 1 ; d = 0,2.6 = 1,2
4)\(\frac{x}{3}=\frac{y}{2}\Rightarrow\frac{x}{3}:5=\frac{y}{2}:5\Leftrightarrow\frac{x}{15}=\frac{y}{10}\)
\(\frac{y}{5}=\frac{z}{7}\Rightarrow\frac{y}{5}:2=\frac{z}{7}:2\Leftrightarrow\frac{y}{10}=\frac{z}{14}\)
\(\Rightarrow\frac{x}{15}=\frac{y}{10}=\frac{z}{14}=\frac{x+y+z}{15+10+14}=\frac{184}{39}=4\frac{28}{39}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=4\frac{28}{39}.15=70\frac{10}{13}\\y=4\frac{28}{39}.10=47\frac{7}{39}\\z=4\frac{28}{39}.14=66\frac{2}{39}\end{cases}}\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}b+c-a=x\\a+c-b=y\\a+b-c=z\end{cases}}\)
vì a,b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác => \(\hept{\begin{cases}b+c>a\\c+a>b\\a+b>c\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b+c-a>0\\c+a-b>0\\a+b-c>0\end{cases}\Rightarrow x,y,z>0}\)
và \(\hept{\begin{cases}2c=x+y\\2a=y+z\\2b=x+z\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}c=\frac{x+y}{2}\\a=\frac{y+z}{2}\\b=\frac{x+z}{2}\end{cases}}\Rightarrow\frac{a}{b+c-a}=\frac{\frac{y+z}{2}}{x}=\frac{y+z}{2x}}\)
Tương tự: \(\hept{\begin{cases}\frac{b}{c+a-b}=\frac{x+z}{2y}\\\frac{c}{a+b-c}=\frac{x+y}{2z}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}=\frac{y+z}{2x}+\frac{x+z}{2y}+\frac{x+y}{2z}\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)+\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)\right]\ge\frac{1}{2}\left(2+2+2\right)\) vì \(\hept{\begin{cases}\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\ge2\\\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\ge2\\\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge2\end{cases}}\)
Dấu "=" khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}\frac{y}{x}=\frac{x}{y}\\\frac{z}{x}=\frac{x}{z}\\\frac{y}{z}=\frac{z}{y}\end{cases}}\) và x,y,z>0
<=> x=y=z
=> a+b-c=c+a-b = a+b-c
<=> a+b+c-2a=a+b+c-2b=a+c+c-2c
<=> a=b=c