Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
\(\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\)
Nhân cả hai vế của đẳng thức trên với \(a^2+b^2+c^2\ne0\) (do \(a,b,c\ne0\)), ta được:
\(x^2+y^2+z^2=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\right)\) \(\left(1\right)\)
Khi đó, ta khai triển vế phải của \(\left(1\right)\) thì \(\left(1\right)\) trở thành:
\(VP=x^2+\frac{a^2y^2}{b^2}+\frac{a^2z^2}{c^2}+\frac{b^2x^2}{a^2}+y^2+\frac{b^2z^2}{c^2}+\frac{c^2x^2}{a^2}+\frac{c^2y^2}{b^2}+z^2\)
So sánh vế trái của đẳng thức \(\left(1\right)\), ta dễ dàng nhận thấy cả hai vế có cùng đa thức \(x^2+y^2+z^2\) nên ta có thể viết lại \(\left(1\right)\) như sau:
\(\frac{a^2y^2}{b^2}+\frac{a^2z^2}{c^2}+\frac{b^2x^2}{a^2}+\frac{b^2z^2}{c^2}+\frac{c^2x^2}{a^2}+\frac{c^2y^2}{b^2}=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(\frac{b^2x^2}{a^2}+\frac{c^2x^2}{a^2}\right)+\left(\frac{c^2y^2}{b^2}+\frac{a^2y^2}{b^2}\right)+\left(\frac{a^2z^2}{c^2}+\frac{b^2z^2}{c^2}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\frac{x^2}{a^2}\left(b^2+c^2\right)+\frac{y^2}{b^2}\left(c^2+a^2\right)+\frac{z^2}{c^2}\left(a^2+b^2\right)=0\) \(\left(2\right)\)
Mặt khác, ta cũng có \(a,b,c\ne0\) (gt) nên \(a^2,b^2,c^2\ne0;\) \(a^2+b^2\ne0;\) \(b^2+c^2\ne0\) và \(c^2+a^2\ne0\) \(\left(3\right)\)
Từ \(\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\), ta dễ dàng suy ra được \(x=y=z=0\)
Vậy, \(x^{2011}+y^{2011}+z^{2011}=0\)
a)Ta có: ab+ac+bc=-7 (ab+ac+bc)^2=49
nên
(ab)^2+(bc)^2+(ac)^2=49
nên a^4+b^4+c^4=(a^2+b^2+c^2)^2−2(ab)^2−2(ac)^2−2(bc^)2=98
b) (x^2+y^2+z^2)/(a^2+b^2+c^2)=
=x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2 <=>
x^2+y^2+z^2=x^2+(a^2/b^2)y^2+
+(a^2/c^2)z^2+(b^2/a^2)x^2+y^2+
+(b^2/c^2)z^2+(c^2/a^2)x^2+
+(c^2/b^2)y^2+z^2 <=>
[(b^2+c^2)/a^2]x^2+[(a^2+c^2)/b^2]y^2+
+[(a^2+b^2)/c^2]z^2 = 0 (*)
Đặt A=[(b^2+c^2)/a^2]x^2; B=[(a^2+c^2)/b^2]y^2;
và C=[(a^2+b^2)/c^2]z^2
Vì a,b,c khác 0 nên suy ra A,B,C đều không âm
Từ (*) ta có A+B+C=0
Tổng 3 số không âm bằng 0 thì cả 3 số đều phải bằng 0,tức A=B=C=0
Vì a,b,c khác 0 nên [(b^2+c^2)/c^2]>0 =>x^2=0 =>x=0
Tương tự B=C=0 =>y^2=z^2=0 => y=z=0
Vậy x^2011+y^2011+z^2011=0
Và x^2008+y^2008+z^2008=0.
ta có \(\frac{x^2}{a^2}\)+ \(\frac{y^2}{b^2}\)+\(\frac{z^2}{c^2}\)= \(\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}\)
=> ( \(\frac{x^2}{a^2}\)+ \(\frac{y^2}{b^2}\)+ \(\frac{z^2}{c^2}\))( \(a^2+b^2+c^2\))= \(x^2+y^2+z^2\)
=> \(x^2\)+ \(\frac{\left(b^2+c^2\right)x^2}{a^2}\)+ \(y^2\)+ \(\frac{\left(a^2+c^2\right)y^2}{b^2}\)+ \(z^2\)+ \(\frac{\left(a^2+b^2\right)z^2}{c^2}\)= \(x^2+y^2+z^2\)
=> \(\frac{\left(b^2+c^2\right)x^2}{a^2}\)+ \(\frac{\left(a^2+c^2\right)y^2}{b^2}\)+ \(\frac{\left(a^2+b^2\right)z^2}{c^2}\)= 0
nhận xét ...... ( tát cả đều lớn hơn hoặc = 0 nên cả tổng sẽ lớn hơn hoặc = 0)
dấu = xảy ra khi và chi khi x=y = z = 0 ( vì a,b,c khác 0)
vậy \(x^{2011}+y^{2011}+z^{2011}\)= 0 +0+0 = 0
\(\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\Leftrightarrow\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x^2}{a^2+b^2+c^2}-\frac{x^2}{a^2}\right)+\left(\frac{y^2}{a^2+b^2+c^2}-\frac{y^2}{b^2}\right)+\left(\frac{z^2}{a^2+b^2+c^2}-\frac{z^2}{c^2}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x^2.\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}-\frac{1}{a^2}\right)+y^2.\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}-\frac{1}{b^2}\right)+z^2.\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}-\frac{1}{c^2}\right)=0\)
vì \(a,b,c\ne0\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}-\frac{1}{a^2}\right)\ne0\\\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}-\frac{1}{b^2}\right)\ne0\\\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}-\frac{1}{c^2}\right)\ne0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2=0\\y^2=0\\z^2=0\end{cases}}\Rightarrow x=y=z=0\Rightarrow P=0+\frac{11}{2011}=\frac{11}{2011}\)
a/ \(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+ac+bc\right)=0\)
\(\Rightarrow ab+ac+bc=-7\Rightarrow\left(ab+ac+bc\right)^2=49\)
\(\Rightarrow\left(ab\right)^2+\left(ac\right)^2+\left(bc\right)^2+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2=49\)
\(\Rightarrow\left(ab\right)^2+\left(ac\right)^2+\left(bc\right)^2+2abc\left(a+b+c\right)=49\)
\(\Rightarrow\left(ab\right)^2+\left(ac\right)^2+\left(bc\right)^2=49\)
Ta có:
\(a^4+b^4+c^4=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-2\left(\left(ac\right)^2+\left(ac\right)^2+\left(bc\right)^2\right)=14^2-2.49=98\)
b/ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{x^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{y^2}{a^2+b^2+c^2}-\frac{z^2}{c^2}-\frac{z^2}{a^2+b^2+c^2}=0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(\frac{b^2+c^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)a^2}\right)+y^2\left(\frac{a^2+c^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)b^2}\right)+z^2\left(\frac{a^2+b^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)c^2}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x^2=y^2=z^2=0\) (do \(a;b;c\ne0\))
\(\Rightarrow x=y=z=0\Rightarrow P=0\)
a, Xét : 196 = 14^2 = (a^2+b^2+c^2) = a^4+b^4+c^4+2.(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)
<=> a^4+b^4+c^4 = 196 - 2.(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)
Xét : 0 = (a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2.(ab+bc+ca)
Mà a^2+b^2+c^2 = 14
<=> 2.(ab+bc+ca) = -14
<=> ab+bc+ca = -7
<=> a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc.(a+b+c) = 49
Lại có : a+b+c = 0
<=> a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 = 49
<=> A = a^4+b^4+c^4 = 196 - 2.49 = 98
Tk mk nha
b) \(\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{x^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{y^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{z^2}{c^2}-\frac{z^2}{a^2+b^2+c^2}=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(x^2\left(\frac{1}{a^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\right)+y^2\left(\frac{1}{b^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\right)+z^2\left(\frac{1}{c^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(x^2=y^2=z^2=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(x=y=z=0\)
Vậy \(D=0\)
vi a/x + b/y + c/z =0 suy ra ayz/xyz + bxz/xyz + cxy/xyz =0 suy ra ayz+bxz+cxy /xyz =0 suy ra ayz + bxz + cxy =0
vi x/a + y/b =z/c =0 suy ra (x/a + y/b + z/c )^2 =0 suy ra x^2/a^2 +y^2/b^2 + z^2/c^2 + 2(xy/ab + xz/ac + yz/bc) =0
suy ra x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 + 2(cxy+ bxz +ayz /abc) =0
suy ra x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 =0
suy ra x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 +2011 = 2011
Ez z còn
\(\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x^2}{a^2+b^2+c^2}-\frac{x^2}{a^2}\right)+\left(\frac{y^2}{a^2+b^2+c^2}-\frac{y^2}{b^2}\right)+\left(\frac{z^2}{a^2+b^2+c^2}-\frac{z^2}{c^2}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}-\frac{1}{a^2}\right)+y^2\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}-\frac{1}{b^2}\right)+z^2\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}-\frac{1}{c^2}\right)=0\)
Tà thấy \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}-\frac{1}{a^2};\frac{1}{a^2+b^2+c^2}-\frac{1}{b^2};\frac{1}{a^2+b^2+c^2}-\frac{1}{c^2}>0\forall a;b;c\ne0\)
\(\Rightarrow x^2\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}-\frac{1}{a^2}\right);y^2\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}-\frac{1}{b^2}\right);z^2\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}-\frac{1}{c^2}\right)\ge0\forall a;b;c\ne0\)
\(\Rightarrow x^2\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}-\frac{1}{a^2}\right)+y^2\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}-\frac{1}{b^2}\right)+z^2\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}-\frac{1}{c^2}\right)\ge0\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=0\)
\(\Rightarrow x^{2011}+y^{2011}+z^{2011}=0\)