cho a,b,c > 0 thỏa mãn a+b+c+ab+bc+ca=6abc Cmr: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge3$

Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

Chọn lớp

Chọn môn

Mua vip

dbrby

14 tháng 8 2019

cho a,b,c > 0 thỏa mãn a+b+c+ab+bc+ca=6abc

Cmr: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge3$

#Toán lớp 10

Nelson Charles

14 tháng 8 2019

§1. Bất đẳng thức

Đúng(0)

Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên

Easylove

13 tháng 7 2020

Cho a, b, c>0 thoả mãn a+b+c+ab+bc+ca=6abc

cmr:$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge3$

#Toán lớp 10

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

13 tháng 7 2020

$GT\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=6$

Ta có:

$2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\ge2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)$

$\frac{1}{a^2}+1+\frac{1}{b^2}+1+\frac{1}{c^2}+1\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)$

Cộng vế với vế:

$3\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)+3\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=12$

$\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge3$

Đúng(0)

Nguyễn Tuấn Hào

8 tháng 5 2021 - olm

Cho a,b,c>0 thỏa mãn ab+bc+ca=2abc . CMR : $\frac{1}{a\left(2a-1\right)^2}+\frac{1}{b\left(2b-1\right)^2}+\frac{1}{c\left(2c-1\right)^2}\ge\frac{1}{2}$

#Toán lớp 10

Nguyễn Minh Quang

Giáo viên

8 tháng 5 2021

Đặt $x=\frac{1}{a}, y=\frac{1}{b}, z=\frac{1}{c}, \Rightarrow x+y+z=2$

Suy ra $\frac{1}{a\left(2a-1\right)^2}+\frac{1}{b\left(2b-1\right)^2}+\frac{1}{c\left(2c-1\right)^2}=\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2}+\frac{y^3}{\left(2-y\right)^2}+\frac{z^3}{\left(2-z\right)^2}$

Ta có $\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2}+\frac{2-x}{8}+\frac{2-x}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2} .\frac{2-x}{8}.\frac{2-x}{8}}=\frac{3x}{4}.$

$\Rightarrow\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2}\ge x-\frac{1}{2}$$\Rightarrow\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2}+\frac{y^3}{\left(2-y\right)^2}+\frac{z^3}{\left(2-z\right)^2}\ge x+y+z-\frac{3}{2}=2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$

dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\frac{2}{3}$hay $a=b=c=\frac{3}{2}$

Đúng(1)

oooloo

22 tháng 6 2020

cho a,b,c > 0 thỏa mãn ab+bc+ca=1. Cmr:

$a+b+c+\frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{c+a}+\frac{ca}{a+b}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}$

#Toán lớp 10

Akai Haruma

Giáo viên

25 tháng 6 2020

Lời giải:

Ta thấy:

$\text{VT}=(a+\frac{ca}{a+b})+(b+\frac{ab}{b+c})+(c+\frac{bc}{c+a})$

$=\frac{a(a+b+c)}{a+b}+\frac{b(a+b+c)}{b+c}+\frac{c(a+b+c)}{c+a}$

$=(a+b+c)\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\right)$

$\geq (a+b+c).\frac{(a+b+c)^2}{a^2+ab+b^2+bc+c^2+ac}=\frac{(a+b+c)^3}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac}$ (theo BĐT Cauchy-Schwarz)

Có:

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)=a^2+b^2+c^2+2$

$\Rightarrow a+b+c=\sqrt{a^2+b^2+c^2+2}=\sqrt{t+2}$ với $t=a^2+b^2+c^2$

Do đó:

$\text{VT}\geq \frac{\sqrt{(t+2)^3}}{t+1}$ $=\sqrt{\frac{(t+2)^3}{(t+1)^2}}$

Áp dụng BĐT AM-GM:

$(t+2)^3=\left(\frac{t+1}{2}+\frac{t+1}{2}+1\right)^3\geq 27.\frac{(t+1)^2}{4}$

$\Rightarrow \text{VT}=\sqrt{\frac{(t+2)^3}{(t+1)^2}}\geq \sqrt{\frac{27}{4}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Đúng(0)

✿✿❑ĐạT̐®ŋɢย❐✿✿

26 tháng 6 2020

Mày chỉ tao SOS đi :((

Đúng(0)

oooloo

20 tháng 6 2020

cho a,b,c > 0 thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$ . Cmr:

$\sqrt{\frac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}+\sqrt{\frac{bc+2a^2}{1+bc-a^2}}+\sqrt{\frac{ca+2b^2}{1+ac-b^2}}\ge2+ab+bc+ca$

#Toán lớp 10

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

20 tháng 6 2020

$\sqrt{\frac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}=\sqrt{\frac{ab+2c^2}{a^2+b^2+ab}}=\frac{ab+2c^2}{\sqrt{\left(ab+2c^2\right)\left(a^2+b^2+ab\right)}}\ge\frac{2\left(ab+2c^2\right)}{a^2+b^2+2ab+2c^2}\ge\frac{ab+2c^2}{a^2+b^2+c^2}=ab+2c^2$

Tương tự: $\sqrt{\frac{bc+2a^2}{1+bc-a^2}}\ge bc+2a^2$ ; $\sqrt{\frac{ca+2b^2}{1+ac-b^2}}\ge ca+2b^2$

Cộng vế với vế:

$VT\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ca=2+ab+bc+ca$

Đúng(0)

Cris devil gamer

5 tháng 4 2021 - olm

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn ab+bc+ca=1.CMR $\frac{a}{b^2+c^2+2}+\frac{b}{c^2+a^2+2}+\frac{c}{a^2+b^2+2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{8}$

#Toán lớp 10

Đạt Trần Tiến

3 tháng 5 2018

Cho 3 số dương a,b,c tm: a+b+c+ab+ca+bc=6abc

CMR: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{1}{3}$

@Lightning Farron

#Toán lớp 10

Lightning Farron

4 tháng 5 2018

Sửa $\dfrac{1}{3}\rightarrow3$

Từ $a+b+c+ab+bc+ca=6abc$

$\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}=6$

Ta có: $\dfrac{1}{a^2}+1\ge\dfrac{2}{a};\dfrac{1}{b^2}+1\ge\dfrac{2}{b};\dfrac{1}{c^2}+1\ge\dfrac{2}{c}$

Và $\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\ge\dfrac{2}{ab};\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\ge\dfrac{2}{bc};\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{1}{a^2}\ge\dfrac{2}{ac}$

Cộng theo vế các BĐT trên ta có:

$3\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+1\right)\ge2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)$

$\Leftrightarrow3\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+1\right)\ge12$

$\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+1\ge4$$\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\ge3$

$"="\Leftrightarrow a=b=c=1$

Đúng(0)