Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Phản chứng. Giả sử cả 2 phương trình đã cho đều có nghiệm. Điều này xảy ra
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (\Delta'_1)=a^2-(2a^2-b^2+1)\geq 0\\ (\Delta'_2)=b^2-(3b^2-ab)\geq 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b^2\geq a^2+1\\ ab\geq 2b^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow ab-b^2\geq a^2+1\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2-ab+1\leq 0\)
\(\Leftrightarrow (a-\frac{b}{2})^2+\frac{3}{4}b^2\leq -1< 0\) (vô lý)
Do đó điều giả sử là sai. Tức là ít nhất 1 trong 2 pt đã cho vô nghiệm.
Xét phương trình thứ nhất:
X2 + 2aX + 3b = 0
Ta có: ∆' = a2 - 3b
= (x + y + z) 2 - 3(xy + yz + zx)
= x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx
\(\frac{\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2}{2}\ge0\)
Vậy PT X2 + 2aX + 3b = 0 có nghiệm với mọi x, y, z.
Phương trình còn lại làm tương tự nhé.
* Giả sử cả 3 pt đều có nghiệm kép hoặc vô nghiệm ta có :
pt \(x^2-2ax+b=0\) (1) có \(\Delta_1'=\left(-a\right)^2-b=a^2-b\le0\)
pt \(x^2-2bx+c=0\) (2) có \(\Delta_2'=\left(-b\right)^2-c=b^2-c\le0\)
pt \(x^2-2cx+a=0\) (3) có \(\Delta_3'=\left(-c\right)^2-a=c^2-a\le0\)
\(\Rightarrow\)\(\Delta_1'+\Delta_2'+\Delta_3'=\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a+b+c\right)\le0\) (*)
Lại có : \(0< a,b,c< 3\)\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a\left(3-a\right)>0\\b\left(3-b\right)>0\\c\left(3-c\right)>0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3a>a^2\\3b>b^2\\3c>c^2\end{cases}}}\)
\(\Rightarrow\)\(\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a+b+c\right)< 3\left(a+b+c\right)-\left(a+b+c\right)=2\left(a+b+c\right)=6>0\)
trái với (*)
Vậy có ít nhất một phương trình có hai nghiệm phân biệt
cái kia chưa bt làm -_-
Lập đelta cho 2 phương trình đi tui xài đelta phẩy
Đặt 2 pt đó là 1 và 2
\(\Delta'_1=a^2+2b+1\)
\(\Delta'_2=b^2-4a+6\)
\(\Rightarrow\Delta'_1+\Delta'_2=a^2+2b+1+b^2-4a+6\)
\(\Rightarrow\Delta'_1+\Delta'_2=\left(a^2-4a+4\right)+\left(b^2+2b\right)+1\)
Mà \(\Delta'1+\Delta'2=\left(a-2\right)^2+\left(b+1\right)^2>0\) ( luôn đúng )
Vậy trong 2 phương trình ( 1 ) và ( 2 ) có ít nhất 1 phương trình có nghiệm
Xét pt (1) có \(\Delta'_1=a^2-bc\)
Xét pt (2) có \(\Delta'_2=b^2-ac\)
Xét pt (3) có \(\Delta'_3=c^2-ab\)
Có \(\Delta'_1+\Delta'_2+\Delta'_3=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\)
\(\Rightarrow2\left(\Delta'_1+\Delta'_2+\Delta'_3\right)=2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\)
\(=\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\Delta_1'+\Delta_2'+\Delta_3'\ge0\)
Nên tồn tại ít nhất một trong 3 delta phải lớn hơn hoặc bằng 0
=> Tồn tại ít nhất một trong 3 pt đã cho có nghiệm
Vậy ...........
