Question

[Captain America]

Cho a, b,c \(\in\) N* và S = \(\) ; x + y +z = 5

Biết S₁ = \(\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}z\) ; S₂ = \(\frac{a}{b}x+\frac{c}{d}y\) ; S₃ = \(\frac{a}{b}x+\frac{c}{d}y\)

Chứng minh rằng S₁ + S₂ + S₃ \(\ge\) 10.

Answer 1

[Đinh Tuấn Việt]

\(\Rightarrow S_1+S_2+S_3=\left(\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}z\right)+\left(\frac{a}{b}x+\frac{c}{b}y\right)+\left(\frac{a}{c}z+\frac{b}{c}y\right)\)

                                     \(=\left(\frac{b}{a}x+\frac{a}{b}x\right)+\left(\frac{c}{b}y+\frac{b}{c}y\right)+\left(\frac{c}{a}z+\frac{a}{c}z\right)\)

                                     \(=x\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)+y\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right)+z\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\)

Ta có: Tổng hai số nghịch đảo luôn lớn hơn hoặc bằng 2 nên:

\(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\ge2\)   ;   \(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\ge2\)   ;     \(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\ge2\)

\(\Rightarrow S_1+S_2+S_3\ge x.2+y.2+z.2=2.\left(x+y+z\right)=2.5=10\)

   Vậy suy ra điều phải chứng minh.

Answer 2

[Trần Trang Anh]

tại sao là 2.5 vậy