Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
CMR: \(\frac{b^{2016}}{c}+\frac{c^{2016}}{b}\ge b^{2015}+c^{2015}\).Giúp mình với, mình đang cần gấp
\(P=\frac{2a+3b+3c-1}{2015+a}+\frac{3a+2b+3c}{2016+b}+\frac{3a+3b+2c+1}{2017+c}\)
\(=\frac{6047-a}{2015+a}+\frac{6048-b}{2016+b}+\frac{6049-c}{2017+c}\)
\(=\frac{8062}{2015+a}+\frac{8064}{2016+b}+\frac{8066}{2017+c}-3\)
\(\ge\frac{\left(\sqrt{8062}+\sqrt{8064}+\sqrt{8066}\right)^2}{2015+2016+2017+a+b+c}-3=\frac{\left(\sqrt{8062}+\sqrt{8064}+\sqrt{8066}\right)^2}{8064}-3\)
Dấu = xảy ra khi ....
Ta có : \(P=\frac{2a+3b+3c+1}{2015+a}+\frac{3a+2b+3c}{2016+b}+\frac{3a+3b+2c-1}{2017+c}\)
\(\Rightarrow P+3=\frac{2a+3b+3c+1}{2015+a}+1+\frac{3a+2b+3c}{2016+b}+1+\frac{3a+3b+2c-1}{2017+c}+1\)
\(=\frac{3a+3b+3c+2016}{2015+a}+\frac{3a+3b+3c+2016}{2016+b}+\frac{3a+3b+3c+2016}{2017+c}\)
\(=\left(3a+3b+3c+2016\right)\left(\frac{1}{2015+a}+\frac{1}{2016+b}+\frac{1}{2017+c}\right)\)
\(=4.2016\left(\frac{1}{2015+a}+\frac{1}{2016+b}+\frac{1}{2017+c}\right)\) \(\left(a+b+c=2016\right)\)
\(=8064.\left(\frac{1}{2015+a}+\frac{1}{2016+b}+\frac{1}{2017+c}\right)\)
Vì a ; b ; c dương , áp dụng BĐT phụ \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\), ta có :
\(\frac{1}{2015+a}+\frac{1}{2016+b}+\frac{1}{2017+c}\ge\frac{9}{2015+2016+2017+a+b+c}=\frac{9}{8064}\)
\(\Rightarrow P+3\ge8064.\frac{9}{8064}=9\) \(\Rightarrow P\ge6\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2015+a=2016+b=2017+c\\a+b+c=2016\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b+1=c+2\\a+b+c=2016\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow a=673;b=672;c=671\)
Vậy ...
Vì \(a,b,c\) lần lượt là độ dài ba cạnh của 1 tam giác cho trước nên suy ra \(a,b,c>0\)
\(----------------\)
Áp dụng bất đẳng thức \(AM-GM\) cho hai số dương, ta có:
\(\frac{a^{2016}}{b+c-a}+\left(b+c-a\right)a^{2014}\ge2\sqrt{\frac{a^{2016}}{b+c-a}.\left(b+c-a\right)a^{2014}}=2a^{2015}\)
\(\Rightarrow\) \(\frac{a^{2016}}{b+c-a}+a^{2014}b+ca^{2014}\ge3a^{2015}\) \(\left(1\right)\)
Theo đó, ta cũng thiết lập tương tự hai bất đẳng thức mới bắt đầu với các hoán vị \(b\rightarrow c\rightarrow a,\) thu được:
\(\frac{b^{2016}}{c+a-b}+b^{2014}c+ab^{2014}\ge3b^{2015}\) \(\left(2\right)\)
\(\frac{c^{2016}}{a+b-c}+c^{2014}a+bc^{2014}\ge3c^{2015}\) \(\left(3\right)\)
Cộng ba bất đẳng thức \(\left(1\right);\left(2\right)\) và \(\left(3\right),\) đồng thời chuyển vế, khi đó bđt mới có dạng:
\(\frac{a^{2016}}{b+c-a}+\frac{b^{2016}}{c+a-b}+\frac{c^{2016}}{a+b-c}\ge3\left(a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}\right)\)
\(-\left[ab\left(a^{2013}+b^{2013}\right)+bc\left(b^{2013}+c^{2013}\right)+ca\left(c^{2013}+a^{2013}\right)\right]\) \(\left(\alpha\right)\)
\(----------------\)
Mặt khác, lại theo bđt \(AM-GM,\) ta có:
\(\Omega_1:\) \(2014a^{2015}+b^{2015}\ge2015\sqrt[2015]{\left(a^{2014}b\right)^{2015}}=2015a^{2014}b\)
\(\Omega_2:\) \(2014b^{2015}+a^{2015}\ge2015\sqrt[2015]{\left(b^{2014}a\right)^{2015}}=2015b^{2014}a\)
Cộng từng vế của hai bđt ở trên và rút gọn, khi đó:
\(a^{2015}+b^{2015}\ge a^{2014}b+b^{2014}a=ab\left(a^{2013}+b^{2013}\right)\) \(\left(1^'\right)\)
Tương tự ta thực hiện các dãy biến đổi như trên, nhận được:
\(b^{2015}+c^{2015}\ge bc\left(b^{2013}+c^{2013}\right)\) \(\left(2^'\right)\)
\(c^{2015}+a^{2015}\ge ca\left(c^{2013}+a^{2013}\right)\) \(\left(3^'\right)\)
Từ \(\left(1^'\right);\left(2^'\right)\) và \(\left(3^'\right)\) suy ra \(2\left(a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}\right)\ge\left[ab\left(a^{2013}+b^{2013}\right)+bc\left(b^{2013}+c^{2013}\right)+ca\left(c^{2013}+a^{2013}\right)\right]\) \(\left(\beta\right)\)
\(----------------\)
\(\left(\alpha\right);\beta\) \(\Rightarrow\) \(đpcm\)
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(a=b=c,\) tức là tam giác khi đó phải là một tam giác đều!