Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
biết là sử dụng BĐT này rùi thì áp dụng mà giải hỏi làm chi :D
áp dụng cô si ta có
a³/b + ab ≥ 2a²
b³/c + bc ≥ 2b²
c³/a + ac ≥ 2c²
+ + + 3 cái lại
=> a³/b + b³/c + c³/a ≥ 2a² + 2b² + 2c² - ab - ac - bc
mặt khác ta có
ab + bc + ac ≤ a² + b² + c² (cái này chứng minh dễ dàng nhé)
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}=9\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
\(S=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}\)
\(\Rightarrow S_{min}=\frac{2}{5}\) khi \(x=y=5\)
áp dung BĐT cô si \(=>\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}\cdot3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=9\)
vì a+b+c=1 => dpcm
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)>=9\)
<=>1+1+1 +\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\)>=9 (*)
áp đụng cô si
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}>=2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}}=2\)
tương tự
\(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}>=2\)
\(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}>=2\)
=> (*) đúng Mà a+b+c=1
=> đpcm
3. abc > 0 nên trog 3 số phải có ít nhất 1 số dương.
Vì nếu giả sử cả 3 số đều âm => abc < 0 => trái giả thiết
Vậy nên phải có ít nhất 1 số dương
Không mất tính tổng quát, giả sử a > 0
mà abc > 0 => bc > 0
Nếu b < 0, c < 0:
=> b + c < 0
Từ gt: a + b + c < 0
=> b + c > - a
=> (b + c)^2 < -a(b + c) (vì b + c < 0)
<=> b^2 + 2bc + c^2 < -ab - ac
<=> ab + bc + ca < -b^2 - bc - c^2
<=> ab + bc + ca < - (b^2 + bc + c^2)
ta có:
b^2 + c^2 >= 0
mà bc > 0 => b^2 + bc + c^2 > 0
=> - (b^2 + bc + c^2) < 0
=> ab + bc + ca < 0 (vô lý)
trái gt: ab + bc + ca > 0
Vậy b > 0 và c >0
=> cả 3 số a, b, c > 0
1.a, Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge4a>0\)
\(\left(b+c\right)^2\ge4b>0\)
\(\left(a+c\right)^2\ge4c>0\)
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64abc\)
Mà abc=1
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge8\left(đpcm\right)\)
vừa làm trên học24 xong mà ko đưa dc link thôi nhai lại vậy :v
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}+\frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}+\frac{b^2+3}{7\sqrt{7}}\)
\(\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}\cdot\frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}\cdot\frac{b^2+3}{7\sqrt{7}}}=\frac{3a^2}{\sqrt{7}}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\frac{b^3}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{b^3}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{c^2+3}{7\sqrt{7}}\ge\frac{3b^2}{\sqrt{7}};\frac{c^3}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{c^3}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{a^2+3}{7\sqrt{7}}\ge\frac{3c^2}{\sqrt{7}}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(2P+\frac{a^2+b^2+c^2+9}{7\sqrt{7}}\ge\frac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\sqrt{7}}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+9}{7\sqrt{7}}-\frac{3\cdot\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{\sqrt{7}}}{2}\ge\frac{\frac{\sqrt{7}}{21}}{2}=\frac{\sqrt{7}}{42}\)
Xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Có thiếu dấu . nào ko nhỉ :v, tự nhai lại nên vẫn thấy ngon :v
bài này
áp dụng cô si ta có
a³/b + ab ≥ 2a²
b³/c + bc ≥ 2b²
c³/a + ac ≥ 2c²
+ + + 3 cái lại
=> a³/b + b³/c + c³/a ≥ 2a² + 2b² + 2c² - ab - ac - bc
mặt khác ta có
ab + bc + ac ≤ a² + b² + c² (cái này chứng minh dễ dàng nhé)
thay vào
=> a³/b + b³/c + c³/a ≥ a² + b² + c² ≥ 1
=>minP = 1
dấu bằng xảy ra <=. a = b = c = 1/√3
( bài này sử dụng A + B ≥ 2C mà B ≤ C => A ≥ C)
k và kết bạn cho mình nha !!!
áp dụng bdt svacxơ => VT >=(a+b+c)^2/(2a+2b+2c) = (a+b+c)/2 = VP (dpcm)
Xét hiểu hai vế: \(BĐT\Leftrightarrow\left(\frac{a^2}{b+c}-\frac{a}{2}\right)+\left(\frac{b^2}{c+a}-\frac{b}{2}\right)+\left(\frac{c^2}{a+b}-\frac{c}{2}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a^2-ab\right)+\left(a^2-ac\right)}{2\left(b+c\right)}+\frac{\left(b^2-bc\right)+\left(b^2-ab\right)}{2\left(c+a\right)}+\frac{\left(c^2-ca\right)+\left(c^2-bc\right)}{2\left(a+b\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a\left(a-b\right)+a\left(a-c\right)}{2\left(b+c\right)}+\frac{b\left(b-c\right)+b\left(b-a\right)}{2\left(c+a\right)}+\frac{c\left(c-a\right)+c\left(c-b\right)}{2\left(a+b\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(\frac{a\left(a-b\right)}{2\left(b+c\right)}-\frac{b\left(a-b\right)}{2\left(c+a\right)}\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{\left(a-b\right)}{2}\left(\frac{a}{b+c}-\frac{b}{c+a}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{\left(a-b\right)}{2}\left(\frac{a^2+ac-b^2-bc}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{\left(a-b\right)}{2}\left(\frac{\left(a-b\right)\left(a+b\right)+c\left(a-b\right)}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\right)\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{\left(a+b+c\right)\left(a-b\right)^2}{2\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\) (BĐT đúng)
\(\Rightarrow Q.E.D\)
Xảy ra đẳng thức khi a = b =c
Vì a>0; b>0 nên a + b \geq 4ab1+ab4ab1+ab
\Leftrightarrow (a + b)(1 + ab)\geq 4ab
\Leftrightarrow a + b + a^2b+ab^2\geq 4ab
\Leftrightarrow a + b + a^b + ab^2 - 4ab\geq 0
\Leftrightarrow (a^2b - 2ab + b) + (ab^2 - 2ab +a) \geq 0
\Leftrightarrow b(a^2 -2a + 1) + a(b^2 - 2B + 1)\geq 0
\Leftrightarrow b(a-1)^2 + a(b-1)^2\geq 0
\Rightarrow Bất đẳng thức đúng\Rightarrow đpcm.
Vì a,b > 0 =) ab > 0
Áp dụng BĐT Côsi cho hai số a,b không âm ta có :
\(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)
Áp dụng BĐT Côsi cho hai số 1 , ab không âm ta có :
\(\frac{1+ab}{2}\ge\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow1+ab\ge2\sqrt{ab}\)
Ta có :
\(\frac{4ab}{1+ab}\le\frac{4ab}{2\sqrt{ab}}\)(Vì \(1+ab\ge2\sqrt{ab}\))
mà \(\frac{4ab}{2\sqrt{ab}}=2\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow\frac{4ab}{1+ab}\le2\sqrt{ab}\)(1)
Lại có : \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)(2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow a+b\ge\frac{4ab}{1+ab}\)
Chúc bạn học tốt =))