Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng bđt cosi ta có:
\(\dfrac{x^4+y^4}{2}\ge\sqrt{x^4.y^4}=x^2.y^2\)
Chứng minh tương tự: \(\dfrac{y^4+z^4}{2}\ge y^2z^2\)
\(\dfrac{z^4+x^4}{2}\ge x^2z^2\)
Vậy \(\dfrac{x^4+y^4+y^4+z^4+z^4+x^4}{2}\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\Leftrightarrow x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\left(1\right)\)
Ta lại có \(\dfrac{x^2y^2+y^2z^2}{2}\ge\sqrt{x^2y^2y^2z^2}=xy^2z\)
Chứng minh tương tự: \(\dfrac{y^2z^2+z^2x^2}{2}\ge yz^2x\)
\(\dfrac{z^2x^2+x^2y^2}{2}\ge zx^2y\)
Vậy \(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge xy^2z+xz^2y+zx^2y=xyz\left(x+y+z\right)=3xyz\left(2\right)\)
Từ (1),(2)\(\Rightarrow x^4+y^4+z^4\ge3xyz\)
Dấu '=' xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x^4=y^4=z^4\\x^2y^2=y^2z^2=z^2x^2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=z\)
Mà x+y+z=3\(\Rightarrow x=y=z=1\)
Vậy M=\(x^{2016}+y^{2916}+z^{2016}=1^{2016}+1^{2916}+z^{2016}=1+1+1=3\)
Ta có :
\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(1.x+1.y+1.z\right)^2\) (Bunhia)
\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\le3.4=12\)
\(\Rightarrow-2\sqrt{3}\le x+y+z\le2\sqrt{3}\)
Bạn trên làm sai r. X+y+z ko âm cơ mà sao lại có gtnn là -2√3??
mọi người đâu rồi giải hộ mình đi hay không ai giải nổi ah hj
giúp ko biết đc j ko nhỉ ^^
ta có \(x+y+z=0\Rightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz.\)lúc đó
\(P=\frac{2018\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}{2xy^2+2yz^2+2zx^2+3xyz}=2018.\frac{xy^2+yz^2+zx^2-x^2y-y^2z-z^2x}{xy^2+yz^2+zx^2+y^2\left(x+y\right)+x^2\left(x+z\right)+z^2\left(z+y\right)}\)
\(P=2018.\frac{xy^2+yz^2+zx^2-x^2y-y^2z-z^2x}{xy^2+yz^2+zx^2-x^2y-y^2z-z^2x}=2018\)
nhận liên hợp ta có \(\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=x^2+1-x^2=1\)
mà theo đề bài ta có \(\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=1\)
==> \(\sqrt{x^2+1}-x=y+\sqrt{y^2+1}\)
tương tự ta có \(\sqrt{x^2+1}+x=\sqrt{y^2+1}-y\)
trừ từng vế 2 pt trên ta có 2x=-2y <=>x=-y
đến đây ok rùi nhé bạn
Theo em bài này chỉ có min thôi nhé!
Rất tự nhiên để khử căn thức thì ta đặt \(\left(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\right)=\left(a;b;c\right)\ge0\)
Khi đó \(M=\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\) với abc = \(\sqrt{xyz}=1\) và a,b,c > 0
Dễ thấy \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)
(chuyển vế qua dùng hằng đẳng thức là xong liền hà)
Do đó \(2M=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\)
Đến đây thì chứng minh \(\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\left(a+b\right)\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)(đúng)
Áp dụng vào ta thu được: \(2M\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\Rightarrow M\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\ge\sqrt[3]{abc}=1\)
Vậy...
P/s: Ko chắc nha!
Từ :\(\hept{\begin{cases}x+y+z=3\\x^4+y^4+z^4=3xyz\end{cases}}\)\(\Rightarrow x^4+y^4+z^4=\left(x+y+z\right)xyz=x^2yz+xy^2z+xyz^2\)
Áp dụng AM - GM ta có :
\(x^2yz=x.x.y.z\le\frac{x^4+x^4+y^4+z^4}{4}=\frac{2x^4+y^4+z^4}{4}\)
\(xy^2z=x.y.y.z\le\frac{x^4+y^4+y^4+z^4}{4}=\frac{x^4+2y^4+z^4}{4}\)
\(xyz^2=x.y.z.z\le\frac{x^4+y^4+z^4+z^4}{4}=\frac{x^4+y^4+2z^4}{4}\)
\(\Rightarrow x^2yz+xy^2z+xyz^2\le\frac{4\left(x^4+y^4+z^4\right)}{4}=x^4+y^4+z^4\)
Mà đề lại cho \(x^4+y^4+z^4=x^2yz+xy^2z+xyz^2\) \(\Rightarrow x=y=z\)
Kết hợp với x + y + z = 3 \(\Rightarrow x=y=z=1\)
Thay vào M ta được : \(M=2000.1^{2016}+1^{2016}+1^{2016}=2002\)
Thanks bạn