Question

[Trần Sơn Tùng]

Cho 3 chữ số khác nhau khác 0. Lập tất cả các số tự nhiên gồm cả 3 chữ số ấy. Chứng minh rằng tổng các số vừa lập chia hết cho 37.

Có lời giải đầy đủ nhé! Cảm ơn!

Answer 1

[l҉o҉n҉g҉ d҉z҉]

Giả sử 3 chữ số đó là a,b,c

Ta có sáu số có 3 chữ số tương ứng l abc,acb,bac,bca,cab,cba 

Và abc=100a+10b+1c

acb=100a+10c+1b

bac=100b+10a+1c

bca=100b+10c+1a

cab=100c+10a+1b

cba=100c+10b+1a

tổng là 222a+222b+222c=222.(a+b+c)=6.37.(a+b+c)

suy ra chia hết cho 6,37 

Answer 2

[Vũ Quang Vinh]

Gọi 3 chữ số khác nhau đó là a, b và c ( 0 < a, b, c < 10 ; a khác b khác c ).
Do vai trò của a, b, c đều bằng nhau nên ta giả sử a < b < c.
Khi đó các số được lập ra từ 3 chữ số trên là: abc, acb, bac, bca, cab, cba.
* Ta thấy: Mỗi chữ số a, b, c xuất hiện ở hàng trăm 2 lần, ở hàng chục 2 lần và ở hàng đơn vị là 2 lần nên tổng các số trên là:
100 * 2 * ( a + b + c ) + 10 * 2 * ( a + b + c ) + 1 * 2 * ( a + b + c )
= 200 * ( a + b + c ) + 20 * ( a + b + c ) + 2 * ( a + b + c )
= 222 * ( a + b + c )
= 37 * [ 6 * ( a + b + c ) ] chia hết cho 37
=> abc + acb + bac + bca + cab + cba chia hết cho 37    ( đpcm )