Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đề bài sai
Phản ví dụ: \(a=\dfrac{1}{2};b=2;c=4\) vì VT<VP
Áp dụng Cauchy Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{a^2}{2a+3b}+\frac{b^2}{2b+3c}+\frac{c^2}{2c+3a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{5\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{5}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được
\(\frac{a^3}{a+2b}+\frac{b^3}{b+2c}+\frac{c^3}{c+2a}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}\)
Ta lại có \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\)
Do đó ta được \(\frac{a^3}{a+2b}+\frac{b^3}{b+2c}+\frac{c^3}{c+2a}\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\left(đpcm\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)
p/s: check
a.
Bình phương 2 vế, BĐT cần chứng minh trở thành:
\(\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)}+\sqrt{\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}+\sqrt{\left(c^2+1\right)\left(a^2+1\right)}\ge6\)
Ta có:
\(\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(1+b^2\right)}\ge\sqrt{\left(a+b\right)^2}=a+b\)
Tương tự cộng lại:
\(\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)}+\sqrt{\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}+\sqrt{\left(c^2+1\right)\left(a^2+1\right)}\ge2\left(a+b+c\right)=6\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
b.
\(\sum\dfrac{a+1}{a^2+2a+3}=\sum\dfrac{a+1}{a^2+1+2a+2}\le\sum\dfrac{a+1}{4a+2}\)
Nên ta chỉ cần chứng minh:
\(\sum\dfrac{a+1}{4a+2}\le1\Leftrightarrow\sum\dfrac{4a+4}{4a+2}\le4\)
\(\Leftrightarrow\sum\dfrac{1}{2a+1}\ge1\)
Đúng đo: \(\dfrac{1}{2a+1}+\dfrac{1}{2b+1}+\dfrac{1}{2c+1}\ge\dfrac{9}{2\left(a+b+c\right)+3}=1\)
Ta có:
\(\frac{\sqrt{5abc}}{a\sqrt{3a+2b}}+\frac{\sqrt{5abc}}{b\sqrt{3b+2c}}+\frac{\sqrt{5abc}}{c\sqrt{3c+2a}}\)
\(=\frac{5bc}{\sqrt{5ab\left(3ac+2bc\right)}}+\frac{5ac}{\sqrt{5bc\left(3ba+2ca\right)}}+\frac{5ab}{\sqrt{5ca\left(3cb+2ab\right)}}\)
\(\ge\frac{10bc}{5ab+3ac+2bc}+\frac{10ac}{5bc+3ba+2ca}+\frac{10ab}{5ca+3cb+2ab}\)
Đặt \(ab=x,bc=y,ca=z\)(cho dễ nhìn)
\(=\frac{10x}{2x+3y+5z}+\frac{10y}{2y+3z+5x}+\frac{10z}{2z+3x+5y}\)
\(=\frac{10x^2}{2x^2+3yx+5zx}+\frac{10y^2}{2y^2+3zy+5xy}+\frac{10z^2}{2z^2+3xz+5yz}\)
\(\ge\frac{10\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{5\left(x+y+z\right)^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)+4\left(xy+yz+zx\right)}\)
Giờ ta cần chứng minh
\(\frac{5\left(x+y+z\right)^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)+4\left(xy+yz+zx\right)}\ge3\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)(đúng)
Vậy ta có ĐPCM
alibaba nguyễn bạn trả lời đúng đấy! Nhưng để dễ hiểu hơn ta nên áp dụng tổ hợp BĐT AM-GM và Cauchy-Schwarz nhé!
Bài 1:
\(BDT\Leftrightarrow\sqrt{\frac{3}{a+2b}}+\sqrt{\frac{3}{b+2c}}+\sqrt{\frac{3}{c+2a}}\le\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\ge\sqrt{3}\left(\frac{1}{\sqrt{a+2b}}+\frac{1}{\sqrt{b+2c}}+\frac{1}{\sqrt{c+2a}}\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz và BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{b}}\ge\frac{9}{\sqrt{a}+\sqrt{2}\cdot\sqrt{2b}}\ge\frac{9}{\sqrt{\left(1+2\right)\left(a+2b\right)}}=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{a+2b}}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\ge\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{b+2c}};\frac{1}{\sqrt{c}}+\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{a}}\ge\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{c+2a}}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(3\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\right)\ge3\sqrt{3}\left(\frac{1}{\sqrt{a+2b}}+\frac{1}{\sqrt{b+2c}}+\frac{1}{\sqrt{c+2a}}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\ge\sqrt{3}\left(\frac{1}{\sqrt{a+2b}}+\frac{1}{\sqrt{b+2c}}+\frac{1}{\sqrt{c+2a}}\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
Bài 2: làm mãi ko ra hình như đề sai, thử a=1/2;b=4;c=1/2
Bài 2/
\(\frac{bc}{a^2b+a^2c}+\frac{ca}{b^2c+b^2a}+\frac{ab}{c^2a+c^2b}\)
\(=\frac{b^2c^2}{a^2b^2c+a^2c^2b}+\frac{c^2a^2}{b^2c^2a+b^2a^2c}+\frac{a^2b^2}{c^2a^2b+c^2b^2a}\)
\(=\frac{b^2c^2}{ab+ac}+\frac{c^2a^2}{bc+ba}+\frac{a^2b^2}{ca+cb}\)
\(\ge\frac{\left(bc+ca+ab\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{ab+bc+ca}{2}\)
\(\ge\frac{3\sqrt[3]{ab.bc.ca}}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=1\)
minh nghi vay
Áp dụng BĐT cô si ta có :
ab+bc+ca≥33√ab.bc.ca=3ab+bc+ca≥3ab.bc.ca3=3
⇒BĐT⇒BĐTcần CMCM: 3>9a+b+c⇔a+b+c>33>9a+b+c⇔a+b+c>3
Mà a,b,c > 0 => abc > 0
⇒a+b+c≥33√abc≥3⇒a+b+c≥3abc3≥3
Dấu "=" xảy ra ⇔\hept{a=b=ca2=b2=c2=1⇔a=b=c=1
