Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bạn xem lời giải tại đây:
cho 100 STN \(a_1,a_2,...,a_{100}\) thỏa mãn: \(\dfrac{1}{\sqrt{a_1}} \dfrac{1}{\sqrt{a_2}} ... \dfrac{1}{\sqrt{a_{100}... - Hoc24
Giả sử 100 số tự nhiên đã cho đôi một khác nhau và \(a_1\ge1\),\(a_2\ge2\),..\(a_{100}\ge100\)( vì a là số tự nhiên)
\(\Rightarrow S=\dfrac{1}{\sqrt{a_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{a_{100}}}\le\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{100}}\)
Ta có điều sau:\(\dfrac{1}{2\sqrt{n}}=\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}< \dfrac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\)
\(\Rightarrow S< 1+2.\left(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}\right)\)
\(=1+2.\left(10-1\right)=19\)( trái với giả thiết)
nên có ít nhất 2 trong 100 số đã cho bằng nhau .
Ta phản chứng rằng không tồn tại 2 số nào bằng nhau trong 25 số trên, đồng nghĩa với 25 số trên là phân biệt, ta sắp xếp chúng theo thứ tự $a_1<a_2<...<a_25$, có thể thấy rằng, bộ số $1,2,...25$ chính là bộ số mà giá trị của vế trái lớn nhất, nhưng giá trị lúc này có thể tính được là xấp xỉ 8,6<9 nên không thỏa mãn, các bộ số khác hiển nhiên cũng sẽ khiến vế trái nhỏ hơn 9, vậy không tồn tại bộ số nào thỏa mãn nếu chúng phân biệt, ta có điều phải chứng minh
TK: Câu hỏi của Lãnh Hạ Thiên Băng - Toán lớp 6 - Học trực tuyến OLM
\(2a=1-\sqrt{2}\Rightarrow\sqrt{2}=1-2a\Rightarrow2=4a^2-4a+1\Rightarrow a^2-a=\dfrac{1}{4}\)
\(16a^8=16a^6\left(a^2-a\right)+16a^7=16a^7+4a^6=16a^5\left(a^2-a\right)+20a^6=20a^6+4a^5\)
\(=20a^4\left(a^2-a\right)+24a^5=24a^5+5a^4=24a^3\left(a^2-a\right)+29a^4\)
\(=29a^4+6a^3=29a^2\left(a^2-a\right)+35a^3=35a^3+\dfrac{29}{4}a^2\)
\(=35a\left(a^2-a\right)+\dfrac{169}{4}a^2=\dfrac{169}{4}a^2+\dfrac{35}{4}a=\dfrac{169}{4}\left(a^2-a\right)+51a=\dfrac{169}{16}+51a\)
\(\Rightarrow A=\sqrt{\dfrac{169}{16}+51a-51a}=\dfrac{13}{4}\)
2/
Với \(a\in Z^+\) , ta có:
\(\dfrac{1}{\sqrt{a}}=\dfrac{2}{2\sqrt{a}}< \dfrac{2}{\sqrt{a-1}+\sqrt{a}}=2\left(\sqrt{a}-\sqrt{a-1}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{100}}< 2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{100}}< 2\left(\sqrt{100}-\sqrt{1}\right)=18\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{100}}< 19\)
Áp dụng vào bài toán, ta có:
\(\dfrac{1}{\sqrt{a_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{a_{100}}}=19\left(1\right)\)
Giả sử tất cả các số tự nhiên \(a_k\left(k=1...100\right)\) đều khác nhau và \(a_k\ne0\), không làm mất tính tổng quát, giả sử \(1\le a_1< a_2< a_3< ...< a_{100}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a_1\ge1\\a_2\ge2\\...\\a_{100}\ge100\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{\sqrt{a_1}}\le\dfrac{1}{\sqrt{1}}\\\dfrac{1}{\sqrt{a_2}}\le\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\...\\\dfrac{1}{\sqrt{a_{100}}}\le\dfrac{1}{\sqrt{100}}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{a_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{a_{100}}}\le\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{100}}< 19\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{a_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{a_{100}}}< 19\)
Mâu thuẫn với \(\left(1\right)\Rightarrow\) điều giả sử là sai.
Vậy phải tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau
chứng minh = phản chứng . giả sử trong 25 số tự nhiên ko có 2 số nào bằng nhau . ko mất tính tổng quát , giả sử\(a_11,a_22,..,a_{25}25\)
thế thì
\(\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{25}}}=\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+..+\frac{1}{\sqrt{25}}\)
ta lại có \(\frac{1}{\sqrt{25}}+..+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{1}}=\frac{1}{\sqrt{25+\sqrt{25}}}+\frac{1}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}+1\)
\(< \frac{2}{\sqrt{24+\sqrt{24}}}+.+\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}+1\)
\(=2\left(\sqrt{25}-\sqrt{24}+\sqrt{24}-\sqrt{23}+...+\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)+1=2\left(\sqrt{25}-\sqrt{1}\right)+1=9\left(2\right)\)
từ (1) zà 2 suy ra \(\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+..+\frac{1}{\sqrt{a_{25}}}< 9\)trái zới giả thiết , suy ra ko tồn tại 2 số nào = nhau trong 25 số
Lời giải:Giả sử trong 100 số tự nhiên $a_1,a_2,...,a_{100}$ không có 2 số nào bằng nhau. Khi đó:
\(\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{100}}}< \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}\)
Mà:
\(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}< 19\)
Do đó \(\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{100}}}< 19\) (trái với giả thiết)
Suy ra điều giả sử là sai. Tức là trong 100 số tự nhiên có 2 số bằng nhau (đpcm)
Bạn có thể xem cách chứng minh \(\sum_{n=1}^{100} \frac{1}{\sqrt{n}}< 19\) tại đây:
Chứng minh rằng \(2\left(\sqrt{n 1}-\sqrt{n}\right)< \frac{1}{\sqrt{n}}< 2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\) (với \(n\in... - Hoc24