Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét hiệu: \(a^3+b^3+c^3-3abc\)
\(=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc\)
\(=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)\(=0\) (do a+b+c = 0)
\(\Rightarrow\)\(a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
\(\Rightarrow\)\(a^3+b^3+c^3=3abc\) (đpcm)
Áp dụng AM-GM:
\(ab+bc+ac\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\dfrac{0}{3}=0\)
\(a+b+c=0\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)
hay \(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=0\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+bc+ca\right)\)Ta có: \(a^2+b^2+c^2\ge0\) .Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=0\)
Suy ra \(ab+bc+ca=-\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}\le-\dfrac{0}{2}=0\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a^2=b^2=c^2=0\Leftrightarrow a=b=c=0\)
a+b+c=0=>(a+b+c)^2=0
=>a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=0
=>2(ab+bc+ca)=-(a^2+b^2+c^2)
Ma a^2+b^2+c^2 > hoac = 0 => -(a^2+b^2+c^2)< hoac = 0
Do do : 2(ab+bc+ca) < hoac = 0
=>ab+bc+ca <hoac = 0
a/Vì AB//CD(gt)
->góc ABD=góc BDC(so le trong)
-Xét tam giác DAb và tam giác CBD có:
góc DBC =góc DBC(gt) }-->
góc ABD =góc BDC(cmt) }
->ĐPCM
b/Vì tam giác ....đồng dạng với....(cmt)
->AB/BD=BD/BC=AD/BC(cạnh tương ứng tỉ lệ)
Mà đã có AD,AB,BC thì bạn tính nốt ra
c/Vì tam giác ....đồng dạng với....(cmt) với tỉ số đòng dạng AD/BC=3/4
->diện tích DAB/diên tích CBD =(3/4)^2=9/16->diên tích CBD= diện tích DAB:9/16
Mà diện tích DAB = 5cm ^2(gt)
->diên tích CBD=......
Ta có: \((1-a)(1-b)(1-c)\geq 0\)
\(\Rightarrow 1-abc+(ab+bc+ca)-(a+b+c)\geq 0\)
\(\Rightarrow 1-(a+b+c)+(ab+bc+ca)\geq 0\)
\(\Rightarrow (a+b+c)-(ab+bc+ca)\leq 1\)
Vì \(a;b;c\in \left [ 0;1 \right ]\) nên \(b^{2}\leq b;c^{3}\leq c\)
\(\Rightarrow a+b^{2}+c^{3}-ab-bc-ca\leq a+b+c-(ab+bc+ca)\leq 1\)
Đẳng thức xảy ra khi \(b=c=1\) và \(a=0\)
cho a,b,c thuộc [0;1]. cmr $a+b^{2}+c^{3}+ab+bc+ca \leq 1$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học
Ta có BĐT sau:
\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
CM: \(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
<=> \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge0\)
<=> \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) (*)
=> BĐT (*) LUÔN ĐÚNG !!!!
=> \(3\left(ab+bc+ca\right)\le\left(a+b+c\right)^2\)
=> \(3\left(ab+bc+ca\right)\le0\)
=> \(ab+bc+ca\le0\)
VẬY TA CÓ ĐPCM.
\(a+b+c=0\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+ac+ca\right)=0\)
Vì \(a^2+b^2+c^2\ge0\forall a;b;c\)
\(\Rightarrow2\left(ab+bc+ca\right)\le0\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\le0\left(đpcm\right)\)