Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
B3 mk tìm đc cách giải r nhưng bạn nào muốn thì trả lời cg đc
Các bạn giải giúp mình B2 và B5 nhé. Mấy bài kia mình giải được rồi.
Bài 4: Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: \(P=\text{}\Sigma_{cyc}a\sqrt{b^3+1}=\Sigma_{cyc}a\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}\le\Sigma_{cyc}a.\frac{\left(b+1\right)+\left(b^2-b+1\right)}{2}=\Sigma_{cyc}\frac{ab^2+2a}{2}=\frac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3\)Giả sử b là số nằm giữa a và c thì \(\left(b-a\right)\left(b-c\right)\le0\Rightarrow b^2+ac\le ab+bc\)\(\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\le a^2b+abc+bc^2\le a^2b+2abc+bc^2=b\left(a+c\right)^2=b\left(3-b\right)^2\)
Ta sẽ chứng minh: \(b\left(3-b\right)^2\le4\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\left(b-4\right)\left(b-1\right)^2\le0\)(đúng với mọi \(b\in[0;3]\))
Từ đó suy ra \(\frac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3\le\frac{1}{2}.4+3=5\)
Đẳng thức xảy ra khi a = 2; b = 1; c = 0 và các hoán vị
Bài 1: Đặt \(a=xc,b=yc\left(x,y>0\right)\)thì điều kiện giả thiết trở thành \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\)
Khi đó \(P=\frac{x}{y+3}+\frac{y}{x+3}+\frac{xy}{x+y}=\frac{x^2+y^2+3\left(x+y\right)}{xy+3\left(x+y\right)+9}+\frac{xy}{x+y}\)\(=\frac{\left(x+y\right)^2+3\left(x+y\right)-2xy}{xy+3\left(x+y\right)+9}+\frac{xy}{x+y}\)
Có: \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\Rightarrow xy=3-\left(x+y\right)\)
Đặt \(t=x+y\left(0< t< 3\right)\Rightarrow xy=3-t\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{t^2}{4}\Rightarrow t\ge2\)(do t > 0)
Lúc đó \(P=\frac{t^2+3t-2\left(3-t\right)}{3-t+3t+9}+\frac{3-t}{t}=\frac{t}{2}+\frac{3}{t}-\frac{3}{2}\ge2\sqrt{\frac{t}{2}.\frac{3}{t}}-\frac{3}{2}=\sqrt{6}-\frac{3}{2}\)với \(2\le t< 3\)
Vậy \(MinP=\sqrt{6}-\frac{3}{2}\)đạt được khi \(t=\sqrt{6}\)hay (x; y) là nghiệm của hệ \(\hept{\begin{cases}x+y=\sqrt{6}\\xy=3-\sqrt{6}\end{cases}}\)
Ta lại có \(P=\frac{t^2-3t+6}{2t}=\frac{\left(t-2\right)\left(t-3\right)}{2t}+1\le1\)(do \(2\le t< 3\))
Vậy \(MaxP=1\)đạt được khi t = 2 hay x = y = 1
Bài 1: Theo đề : \(2ab+6bc+2ac=7abc\) \(;a,b,c>0\)
Chia cả 2 vế cho \(abc>0\Rightarrow\frac{2}{c}+\frac{6}{a}+\frac{2}{b}=7\)
Đặt: \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{a}\\y=\frac{1}{b}\\z=\frac{1}{c}\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\2z+6x+2y=7\end{cases}}\)
Khi đó: \(M=\frac{4ab}{a+2b}+\frac{9ac}{a+4c}+\frac{4bc}{b+c}=\frac{4}{2x+y}+\frac{9}{4x+z}+\frac{4}{y+z}\)
\(\Rightarrow M=\frac{4}{2x+y}+2x+y+\frac{9}{4x+z}+4x+z+\frac{4}{y+z}+y+z-\left(2x+y+4x+z+y+z\right)\)
\(=\left(\frac{2}{\sqrt{x+2y}}-\sqrt{x+2y}\right)^2+\left(\frac{3}{\sqrt{4x+z}}-\sqrt{4x+z}\right)^2+\left(\frac{2}{\sqrt{y+z}}-\sqrt{y+z}\right)^2+17\ge17\)
Khi: \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{2}\\y=z=1\end{cases}}\Rightarrow M=17\)
\(Min_M=17\Leftrightarrow a=2;b=1;c=1\)
ミ★๖ۣۜBăηɠ ๖ۣۜBăηɠ ★彡 chém bài khó nhất rồi nên em xin mạn phép chém bài dễ ạ.
2/\(VT=\Sigma_{cyc}\frac{\left(x+y+z\right)^2-x^2}{x\left(x+y+z\right)+yz}=\Sigma_{cyc}\frac{\left(y+z\right)\left(2x+y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)
\(\ge\Sigma_{cyc}\frac{\left(y+z\right)\left(2x+y+z\right)}{\frac{\left(2x+y+z\right)^2}{4}}=\Sigma_{cyc}\frac{4\left(y+z\right)}{2x+y+z}=\Sigma_{cyc}\frac{2\left(y+z-2x\right)}{2x+y+z}+6\)
\(=\Sigma_{cyc}\left(\frac{2\left(x+y+z\right)\left(y+z-2x\right)}{2x+y+z}-\frac{3}{2}\left(y+z-2x\right)\right)+6\)
\(=\Sigma_{cyc}\frac{\left(y+z-2x\right)^2}{2\left(2x+y+z\right)}+6\ge6\)
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{2}{ab}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}-\frac{2}{ab}+\frac{1}{b^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow Q.E.D\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b
\(gt\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=6\)
Đặt \(\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b,\frac{1}{z}=c\)thì \(P=a^2+b^2+c^2\)và \(a+b+c+ab+bc+ca=6\)
Giải:
Ta có: \(x^2+1\ge2\sqrt{x^2\cdot1}=2x\)
Tương tự rồi cộng theo vế ta được: \(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)(1)
Lại có: \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)(2)
Cộng (1), (2) theo vế ta được:
\(3P+3\ge2\left(x+y+z+xy+yz+zx\right)=2\cdot6=12\)
\(\Rightarrow3P\ge9\Leftrightarrow P\ge3\)
MinP = 3 khi a = b = c = 1 hay x = y = z = 1
1. Theo Cô si:
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge2\sqrt{\frac{1}{a^2b^2}}=2\cdot\frac{1}{ab}=\frac{2}{ab}\)
Dấu "=" khi a = b
2.
\(gt\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=6\)
\(\left(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\right)\rightarrow\left(x,y,z\right)\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}P=x^2+y^2+z^2\\x+y+z+xy+yz+zx=6\end{matrix}\right.\)
Theo Cô si ta có:
\(x^2+1\ge2\sqrt{x^2}=2x\)
Tương tự ta được: \(\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge2\left(x+y+z\right)\)(1)
Lại có: \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)(2)
Cộng (1), (2) theo vế ta được:
\(3P+3\ge2\left(x+y+z+xy+yz+zx\right)=12\)
\(\Rightarrow3P\ge9\Leftrightarrow P\ge3\)
Dấu "=" khi x = y = z = 1 hay a = b = c = 1
\(3-P=1-\frac{x}{x+1}+1-\frac{y}{y+1}+1-\frac{z}{z+1}\)
\(=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\ge\frac{9}{x+y+z+3}=\frac{9}{1+3}=\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
a) Ta có: \(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+xz\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
\("="\Leftrightarrow x=y=z\)
b)
\(Q=\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1}=a-\frac{ab^2}{b^2+1}+b-\frac{bc^2}{c^2+1}+c-\frac{ca^2}{a^2+1}\ge a+b+c-\frac{a}{2}-\frac{b}{2}-\frac{c}{2}=\frac{3}{2}\)
\("="\Leftrightarrow a=b=c=1\)
b) \(Q=a-\frac{ab^2}{b^2+1}+b-\frac{bc^2}{c^2+1}+c-\frac{ca^2}{a^2+1}\)
\(\ge\left(a+b+c\right)-\left(\frac{ab^2}{2b}+\frac{bc^2}{2c}+\frac{ca^2}{2a}\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)-\left(\frac{ab}{2}+\frac{bc}{2}+\frac{ca}{2}\right)\)
\(\ge a+b+c-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{2}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)