Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
b1:
ĐKXĐ: \(x\ne0;x\ne\pm2\)
Ta có : \(A=\left(\frac{4x\left(x-2\right)}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}-\frac{8x^2}{x^2-4}\right)\left(\frac{x-1}{x\left(x-2\right)}-\frac{2\left(x-2\right)}{x\left(x-2\right)}\right)\)
\(=\left(\frac{4x^2-8x-8x^2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\right)\left(\frac{x-1-2x+4}{x\left(x-2\right)}\right)\)
\(=\left(\frac{4x\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\right)\left(\frac{3-3x}{x\left(x-2\right)}\right)\)
\(=\frac{12\left(x-1\right)}{x-2}\)
Vậy ....
Ta có : \(A< 0\Rightarrow\frac{12\left(x-1\right)}{x-2}< 0\)
Đến đây xét 2 TH 12(x-1)<0 & (x-2)>0 hoặc 12(x-1)>0 & (x-2)<0
1.
Ta có: \(\frac{2a+3b+3c+1}{2015+a}+\frac{3a+2b+3c}{2016+b}+\frac{3a+3b+2ac-1}{2017+c}\)
\(=\frac{b+c+4033}{2015+a}+\frac{c+a+4032}{2016+b}+\frac{a+b+4031}{2017+c}\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}2015+a=x\\2016+b=y\\2017+c=z\end{cases}}\)
\(P=\frac{b+c+4033}{2015+a}+\frac{c+a+4032}{2016+b}+\frac{a+b+4031}{2017+c}\)
\(=\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}+\frac{x+y}{z}=\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\)
\(\ge2\sqrt{\frac{y}{x}\cdot\frac{x}{y}}+2\sqrt{\frac{z}{x}\cdot\frac{x}{z}}+2\sqrt{\frac{y}{z}\cdot\frac{z}{y}}\left(Cosi\right)\)
Dấu "=" <=> x=y=z => \(\hept{\begin{cases}a=673\\b=672\\c=671\end{cases}}\)
Vậy Min P=6 khi a=673; b=672; c=671
Câu 1 thử cộng 3 vào P xem
Rồi áp dụng BDT Cauchy - Schwars : a^2/x + b^2/y + c^2/z ≥(a + b + c)^2/(x + y + z)
Sửa đề: Cho a , b ,c dương thỏa mãn: a + b + c = 6abc . Phần dưới vẫn như vậy.
Ta có thể viết:
\(Q=\frac{bc}{a^3\left(c+2b\right)}+\frac{ca}{b^3\left(a+2c\right)}+\frac{ab}{c^3\left(b+2a\right)}\Leftrightarrow Q=\frac{1}{a^3}+\frac{bc}{c+2b}+\frac{1}{b^3}+\frac{ca}{a+2c}+\frac{1}{c^3}+\frac{ab}{b+2a}\)
\(\Rightarrow a=b=c\)
\(\Leftrightarrow Q=\frac{1}{a^3b^3c^3}+\frac{bc}{c+2b}+\frac{ca}{a+2c}+\frac{ab}{b+2a}\Leftrightarrow\frac{1}{\left[\left(a\right)\left(b\right)\left(c\right)\right]^9}+\frac{bc}{c+2b}+\frac{ca}{a+2c}+\frac{ab}{b+2a}\)
Do đó:
\(Q^9=\frac{1}{\left[\left(a\right)\left(b\right)\left(c\right)\right]}\Rightarrow Q^9\ge0\) , mà a , b ,c thỏa mãn a + b + c = 6abc
Vậy GTNN của Q là: 6000 : 9 = 666,6
Vậy dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{1}{\left[\left(a\right)\left(b\right)\left(c\right)\right]}=666,6\)
\(\Rightarrow Q\) đạt GTNN bằng 666,6 và khi a =b =c = 666,6
Ps: Giải chơi nhé! Đừng làm theo! Mình không chịu trách nhiệm hay bất cứ hình phạt nào như: Trừ điểm hỏi đáp, hack nic mình đâu nhé!
1a
\(A=\frac{3}{2ab}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{a^4+b^4}{2}\ge\frac{6}{\left(a+b\right)^2}+\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}}{2}\)
\(\ge10+\frac{\left[\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right]^2}{4}=10+\frac{1}{16}=\frac{161}{16}\)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Vay \(A_{min}=\frac{161}{16}\)
1b.\(B=\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{a^8+b^8}{4}\ge\frac{2}{\left(a+b\right)^2}+\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{\frac{\left(a^4+b^4\right)^2}{2}}{4}\)
\(\ge6+\frac{\left[\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\right]^2}{8}\ge6+\frac{\left[\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right]^2}{32}=6+\frac{1}{128}=\frac{769}{128}\)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Vay \(B_{min}=\frac{769}{128}\)khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
1) Ta có : \(A=2x+\frac{1}{x^2}+\sqrt{2}=x+x+\frac{1}{x^2}+\sqrt{2}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy : \(x+x+\frac{1}{x^2}\ge3.\sqrt[3]{x.x.\frac{1}{x^2}}=3\)
\(\Rightarrow A\ge3+\sqrt{2}\). Dấu đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow x=\frac{1}{x^2}\Leftrightarrow x=1\)
Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(3+\sqrt{2}\) tại x = 1
2) Đặt \(y=x+2016\) \(\Rightarrow x=y-2016\)thay vào B :
\(B=\frac{x}{\left(x+2016\right)^2}=\frac{y-2016}{y^2}=-\frac{2016}{y^2}-\frac{1}{y}\)
Lại đặt \(t=\frac{1}{y}\) , \(B=-2016t^2+t=-2016\left(t-\frac{1}{4032}\right)^2+\frac{1}{8064}\le\frac{1}{8064}\)
Dấu đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow t=\frac{1}{4032}\Leftrightarrow y=4032\Leftrightarrow x=2016\)
Vậy B đạt gá trị lớn nhất bằng \(\frac{1}{8064}\)tại x = 2016
1. Ta có: \(ab+bc+ca=3abc\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{a}=m\\\frac{1}{b}=n\\\frac{1}{c}=p\end{cases}}\) khi đó \(\hept{\begin{cases}m+n+p=3\\M=2\left(m^2+n^2+p^2\right)+mnp\end{cases}}\)
Áp dụng Cauchy ta được:
\(\left(m+n-p\right)\left(m-n+p\right)\le\left(\frac{m+n-p+m-n+p}{2}\right)^2=m^2\)
\(\left(n+p-m\right)\left(n+m-p\right)\le n^2\)
\(\left(p-n+m\right)\left(p-m+n\right)\le p^2\)
\(\Rightarrow\left(m+n-p\right)\left(n+p-m\right)\left(p+m-n\right)\le mnp\)
\(\Leftrightarrow m^3+n^3+p^3+3mnp\ge m^2n+mn^2+n^2p+np^2+p^2m+pm^2\)
\(\Leftrightarrow\left(m+n+p\right)\left(m^2+n^2+p^2-mn-np-pm\right)+6mnp\ge mn\left(m-n\right)+np\left(n-p\right)+pm\left(p-m\right)\)
\(=mn\left(3-p\right)+np\left(3-m\right)+pm\left(3-n\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(m^2+n^2+p^2\right)-3\left(mn+np+pm\right)+6mnp\ge3\left(mn+np+pm\right)-3mnp\)
\(\Leftrightarrow3\left(m^2+n^2+p^2\right)+9mnp\ge6\left(mn+np+pm\right)\)
\(\Leftrightarrow xyz\ge\frac{2}{3}\left(mn+np+pm\right)-\frac{1}{3}\left(m^2+n^2+p^2\right)\)
\(\Rightarrow M\ge2\left(m^2+n^2+p^2\right)+\frac{2}{3}\left(mn+np+pm\right)-\frac{1}{3}\left(m^2+n^2+p^2\right)\)
\(=\frac{5}{3}\left(m^2+n^2+p^2\right)+\frac{2}{3}\left(mn+np+pm\right)\)
\(=\frac{4}{3}\left(m^2+n^2+p^2\right)+\frac{1}{3}\left(m^2+n^2+p^2+2mn+2np+2pm\right)\)
\(=\frac{4}{3}\left(m^2+n^2+p^2\right)+\frac{1}{3}\left(m+n+p\right)^2\)
\(\ge\frac{4}{3}\cdot3+\frac{1}{3}\cdot3^2=4+3=7\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(m=n=p=1\Leftrightarrow a=b=c=1\)
2/\(ĐKXĐ:x\ne-1\)
\(Q=\frac{2x^2+2}{\left(x+1\right)^2}=\frac{2\left(x+1\right)^2-4\left(x+1\right)+4}{\left(x+1\right)^2}\)
\(=2-\frac{4}{x+1}+\frac{4}{\left(x+1\right)^2}\)
Đặt \(\frac{2}{x+1}=t\)
\(\Rightarrow Q=t^2-2t+2=\left(t-1\right)^2+1\ge1\forall t\)
\(\Rightarrow minQ=1\Leftrightarrow t=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{2}{x+1}=1\)
\(\Leftrightarrow x=1\left(tmđkxđ\right)\)
Ta có: \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=\frac{2^2}{2}=2\)
=> \(A\le\frac{2019}{2.2+2016}=\frac{2019}{2020}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = 1