Question

[GK C4]

Ầy dà giúp hộ bài corona nhớ "

Cho HBH ABCD . Qua D kẻ đường thẳng d bất kì cắt AC , AB , BC lần lượt tại M, N , K .

a) CM: \(\frac{1}{DN}+\frac{1}{DK}=\frac{1}{DM}\)

b) CK * AN ko phụ thuộc vị trí đường thẳng d.

Answer 1

[Lê Hoàng]

a) Vì ABCD là hình bình hành (gt) => - AB // CD (t/c) => \(\widehat{AND}=\widehat{CDK}\left(\widehat{ANM}=\widehat{CDM}\right)\) (so le trong)

- AD // BC (t/c) => \(\widehat{ADN}=\widehat{DKC}\) (so le trong)

Xét \(\Delta DAN\) và \(\Delta KCD\) có: \(\widehat{AND}=\widehat{CDK}\), \(\widehat{ADN}=\widehat{DKC}\) (cmt)

\(\Rightarrow\Delta DAN~\Delta KCD\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{DN}{DK}=\frac{AN}{CD}\)  (tỉ lệ) (1)

Xét \(\Delta MNA\) và \(\Delta MDC\) có: \(\widehat{ANM}=\widehat{CDM}\) (cmt), \(\widehat{AMN}=\widehat{DMC}\) (đối đỉnh)

\(\Rightarrow\Delta MNA~\Delta MDC\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{MN}{DM}=\frac{AN}{CD}\) (tỉ lệ) (2)

Từ (1) và (2)  \(\Rightarrow\frac{DN}{DK}=\frac{MN}{DM}\)

\(\Rightarrow DK\cdot MN=DN\cdot DM\)

\(\Rightarrow DK\left(DN-DM\right)=DN\cdot DM\)

\(\Rightarrow DK\cdot DN-DK\cdot DM=DN\cdot DM\)

\(\Rightarrow DK\cdot DN=DK\cdot DM+DN\cdot DM\)

\(\Rightarrow DK\cdot DN=DM\left(DK+DN\right)\)

\(\Rightarrow\frac{DK\cdot DN}{DK+DN}=DM\)

\(\Rightarrow\frac{DK+DN}{DK\cdot DN}=\frac{1}{DM}\)

\(\Rightarrow\frac{DK}{DK\cdot DN}+\frac{DN}{DK\cdot DN}=\frac{1}{DM}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{DN}+\frac{1}{DK}=\frac{1}{DM}\) (đpcm)

b) Vì \(\Delta DAN~\Delta KCD\) (cm câu a) \(\Rightarrow\frac{AD}{CK}=\frac{AN}{CD}\) (tỉ lệ)

\(\Rightarrow CK\cdot AN=AD\cdot CD\)

Vì AD và CD cố định nên \(AD\cdot CD\) không đổi với mọi vị trí đường thẳng d

\(\Rightarrow CK\cdot AN\) không đổi (không phụ thuộc vào vì trí đường thẳng d) (đpcm)