Question

[Ngọc Ánh]

Áp dụng BĐT Cô-si để tìm Max

a. \(y=\left(x+3\right)\left(5-x\right),\left(-3\le x\le5\right)\)

b. \(y=x\left(6-x\right)\left(0\le x\le6\right)\)

c. \(y=\left(x+3\right)\left(5-2x\right)\left(-3\le x\le\frac{5}{2}\right)\)

d. \(y=\left(2x+5\right)\left(5-2x\right)\left(-\frac{5}{2}\le x\le5\right)\)

e. \(y=\left(6x+3\right)\left(5-2x\right)\left(-\frac{1}{2}\le x\le\frac{5}{2}\right)\)

f. \(y=\frac{x}{x^2+2},x\ge0\)

g. \(y=\frac{x^2}{\left(x^2+2\right)^3}\)

Answer 1

[Hoàng Lê Bảo Ngọc]

Từ bđt Cauchy : \(a+b\ge2\sqrt{ab}\) ta suy ra được \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)

Áp dụng vào bài toán của bạn :

a/ \(y=\left(x+3\right)\left(5-x\right)\le\frac{\left(x+3+5-x\right)^2}{4}=...............\)

b/ Tương tự

c/ \(y=\left(x+3\right)\left(5-2x\right)=\frac{1}{2}.\left(2x+6\right)\left(5-2x\right)\le\frac{1}{2}.\frac{\left(2x+6+5-2x\right)^2}{4}=.............\)

d/ Tương tự

e/ \(y=\left(6x+3\right)\left(5-2x\right)=3\left(2x+1\right)\left(5-2x\right)\le3.\frac{\left(2x+1+5-2x\right)^2}{4}=.......\)

f/ Xét \(\frac{1}{y}=\frac{x^2+2}{x}=x+\frac{2}{x}\ge2\sqrt{x.\frac{2}{x}}=2\sqrt{2}\)

Suy ra \(y\le\frac{1}{2\sqrt{2}}\)

..........................

g/ Đặt \(t=x^2\) , \(t>0\) (Vì nếu t = 0 thì y = 0)

\(\frac{1}{y}=\frac{t^3+6t^2+12t+8}{t}=t^2+6t+\frac{8}{t}+12\)

\(=t^2+6t+\frac{8}{3t}+\frac{8}{3t}+\frac{8}{3t}+12\)

\(\ge5.\sqrt[5]{t^2.6t.\left(\frac{8}{3t}\right)^3}+12=.................\)

Từ đó đảo ngược y lại rồi đổi dấu \(\ge\) thành \(\le\)