Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A=(x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)+y4
=[(x+y)(x+4y)] [(x+2y)(x+3y)]+y4
=(x2+5xy+4y2) (x2+5xy+6y2)+y4
Gọi x2+5xy+4y2=a
\(\Rightarrow\)a(a+2y2)+y4
=a2+2ay2+y4
=(y2)2+2ay2+a2
=(a+y2)2
=(x2+5xy+4y2+y2)2
=(x2+5xy+5y2)2 là SCP
\(A=\left[\left(x+y\right)\left(x+4y\right)\right]\left[\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)\right]+y^4\\ A=\left(x^2+5xy+4y^2\right)\left(x^2+5xy+6y^2\right)+y^4\\ A=\left(x^2+5xy+5y^2-y^2\right)\left(x^2+5xy+5y^2+y^2\right)+y^4\\ A=\left(x^2+5xy+5y^2\right)^2-y^4+y^4=\left(x^2+5xy+5y^2\right)^2\left(Đpcm\right)\)
Ta có:
\(A=\left(x+y\right)\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)\left(x+4y\right)+y^4\)
\(=\left(x^2+5xy+4y^2\right)\left(x^2+5xy+6y^2\right)+y^4\)
Đặt \(x^2+5xy+5y^2=t\left(t\in Z\right)\) thì:
\(A=\left(t-y^2\right)\left(t+y^2\right)+y^4\)
\(=t^2-y^4+y^4=t^2\)
\(=\left(x^2+5xy+5y^2\right)^2\)
Vì \(x,y,z\in Z\) nên:
\(x^2\in Z,5xy\in Z,5y^2\in Z\)
\(\Leftrightarrow x^2+5xy+5y^2\in Z\)
Vậy \(A\) là số chính phương (Đpcm)
A = ( x + y )( x + 2y )( x + 3y )( x + 4y ) + y4
= [ ( x + y )( x + 4y ) ][ ( x + 2y )( x + 3y ) ] + y4
= ( x2 + 5xy + 4y2 )( x2 + 5xy + 6y2 ) + y4 (1)
Đặt t = x2 + 5xy + 5y2
(1) <=> ( t - y2 )( t + y2 ) + y4
= t2 - y4 + y4
= t2 = ( x2 + 5xy + 5y2 )2
Vì x, y nguyên => x2 nguyên ; 5xy nguyên ; 5y2 nguyên
=> x2 + 5xy + 5y2 nguyên
=> ( x2 + 5xy + 5y2 )2 là một số chính phương
=> đpcm
A = ( x + y )( x + 2y )( x + 3y )( x + 4y ) + y4
=> A = ( x2 + 5xy + 4y2 ) ( x2 + 5xy + 6y2 ) + y4
Đặt a = x2 + 5xy + 5y2 , pt trở thành :
A = ( a - y2 ) ( a + y2 ) + y4
=> A = t2 - y4 + y4 = t2 = ( x2 + 5xy + 5y2 )2 là SCP
Vậy A là SCP
Hazz suy nghĩ nãy h ko được cách nào -_- làm tạm đi
* Nếu x và y chẵn :
\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x=2n\\y=2m\end{cases}}\) \(\left(m,n\inℤ\right)\)
Ta có :
\(A=\left|2n+2m-1000\right|.\left(2n-2m-1017\right)\)
\(A=2\left|n+m-1000\right|.\left(2n-2m-1017\right)⋮2\)
Vậy A là số chẵn
* Nếu x chẵn và y lẻ :
\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x=2n\\y=2m+1\end{cases}}\) \(\left(m,n\inℤ\right)\)
Ta có :
\(A=\left|2n+2m+1-1000\right|.\left(2n-2m-1-1017\right)\)
\(A=\left|2\left(n+m\right)-999\right|.\left[2\left(n-m\right)-1018\right]\)
Lại có :
\(2\left(n+m\right)\) chẵn \(\Rightarrow\)\(\left|2\left(n+m\right)-999\right|\) lẻ \(\left(1\right)\) ( chẵn trừ lẻ = lẻ )
\(2\left(n-m\right)\) chẵn \(\Rightarrow\)\(2\left(n-m\right)-1018\) chẵn \(\left(2\right)\) ( chẵn trừ chẵn = chẵn )
Từ (1) và (2) suy ra \(A=\left|2\left(n+m\right)-999\right|.\left[2\left(n-m\right)-1018\right]\) chẵn ( lẻ nhân chẵn = chẵn )
Vậy A là số chẵn
* Nếu x lẻ và y chẵn :
\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x=2n+1\\y=2m\end{cases}}\) \(\left(m,n\inℤ\right)\)
Ta có :
\(A=\left|2n+1+2m-1000\right|.\left(2n+1-2m-1017\right)\)
\(A=\left|2\left(n+m\right)-999\right|.\left[2\left(n-m\right)-1016\right]\)
Lại có :
\(2\left(n+m\right)\) chẵn \(\Rightarrow\)\(\left|2\left(n+m\right)-999\right|\) lẻ ( chẵn trừ lẻ = lẻ ) \(\left(3\right)\)
\(2\left(n-m\right)\) chẵn \(\Rightarrow\)\(2\left(n-m\right)-1016\) chẵn ( chẵn trừ chẵn = chẵn ) \(\left(4\right)\)
Từ (3) và (4) suy ra \(\left|2\left(n+m\right)-999\right|.\left[2\left(n-m\right)-1016\right]\) chẵn ( lẻ nhân chẵn = chẵn )
Vậy A là số chẵn
* Nếu x và y lẻ :
\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x=2n+1\\y=2m+1\end{cases}}\) \(\left(m,n\inℤ\right)\)
Ta có :
\(A=\left|2n+1+2m+1-1000\right|.\left(2n+1-2m-1-1017\right)\)
\(A=\left|2n+2m-998\right|.\left[2\left(n-m\right)-1017\right]\)
\(A=2\left|n+m-499\right|.\left[2\left(n-m\right)-1017\right]⋮2\)
Vậy A là số chẵn
Từ 4 trường hợp trên ta suy ra A là số chẵn với mọi x, y là số nguyên
Vậy A là số chẵn \(\forall x,y\inℤ\)
Chúc bạn học tốt ~
A=(x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)+y4
A=(x+y)(x+4y).(x+2y)(x+3y)+y4
A=(x2+5xy+4y2)(x2+5xy+6y2)+y4
A=(x2+5xy+ 5y2 - y2 )(x2+5xy+5y2+y2)+y4
A=(x2+5xy+5y2)2-y4+y4
A=(x2+5xy+5y2)2
Do x,y,Z nen x2+5xy+5y2 Z
A là số chính phương
a) Ta có: A= (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)+y4
= (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y2
Đặt x2 + 5xy + 5y2 = h ( h thuộc Z):
A = ( h - y2)( h + y2) + y2 = h2 – y2 + y2 = h2 = (x2 + 5xy + 5y2)2
Vì x, y, z thuộc Z nên x2 thuộc Z, 5xy thuộc Z, 5y2 thuộc Z . Suy ra x2 + 5xy + 5y2 thuộc Z
Vậy A là số chính phương.