K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TT
2
TA
26 tháng 7 2017
Từ giả thiết suy ra
\(\left(x-1\right)\left(y-1\right)+\left(y-1\right)\left(z-1\right)+\left(z-1\right)\left(x-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow xy+yz+zx\ge2\left(x+y+z\right)-3\) (1)
Lại có \(3x^2+4y^2+5z^2=52\)
\(\Leftrightarrow5\left(x^2+y^2+z^2\right)=52+2x^2+y^2\ge52+2.1+1=55\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge11\) (2)
Từ (1) và (2) ta có \(\left(x+y+z\right)^2=\left(x^2+y^2+z^2\right)+2\left(xy+yz+zx\right)\ge11+4\left(x+y+z\right)-6\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2-4\left(x+y+z\right)-5\ge0\)
\(\Leftrightarrow P^2-4P-5\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(P+1\right)\left(P-5\right)\ge0\)
\(\Rightarrow P\ge5\)
Vậy \(P_{min}=5\) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=1\\z=3\end{cases}}\)
10 tháng 7 2017
1) Đặt \(\dfrac{b\sqrt{a-1}+a\sqrt{b-1}}{ab}\) là A
\(\)\(A=\dfrac{\sqrt{a-1}}{a}+\dfrac{\sqrt{b-1}}{b}\)
\(\left(\dfrac{\sqrt{a-1}}{a}\right)^2=\dfrac{a-1}{a^2}=\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{a^2}=\dfrac{1}{a}\left(1-\dfrac{1}{a}\right)\)
\(\Rightarrow\)\(\dfrac{\sqrt{a-1}}{a}=\sqrt{\dfrac{1}{a}\left(1-\dfrac{1}{a}\right)}\)
Tương tự: \(\dfrac{\sqrt{b-1}}{b}=\sqrt{\dfrac{1}{b}\left(\dfrac{1}{b}-1\right)}\)
Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:
\(\sqrt{\dfrac{1}{a}\left(1-\dfrac{1}{a}\right)}\le\dfrac{\dfrac{1}{a}+\left(1-\dfrac{1}{a}\right)}{2}=\dfrac{1}{2}\)
Tương tự: \(\sqrt{\dfrac{1}{b}\left(\dfrac{1}{b}-1\right)}\le\dfrac{1}{2}\)
Cộng vế theo vế của 2 BĐT vừa chứng minh, ta được:
\(A\le1\left(đpcm\right)\)
11 tháng 7 2017
Xét: \(a^2+\dfrac{2}{a^3}=\dfrac{1}{3}a^2+\dfrac{1}{3}a^2+\dfrac{1}{3}a^2+\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{a^3}\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 5 số dương trên, ta có: \(\left(1\right)\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{3}a^2.\dfrac{1}{3}a^2.\dfrac{1}{3}a^2.\dfrac{1}{a^3}.\dfrac{1}{a^3}}=5\sqrt[5]{\dfrac{1}{27}}=\dfrac{5\sqrt[5]{9}}{3}\left(đpcm\right)\)
Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{1}{3}a^2=\dfrac{1}{a^3}\Leftrightarrow a=\sqrt[5]{3}\)
WB
0
KT
31 tháng 7 2018
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{4\left(x^5-x^2\right)}{x^5+y^2+z^2}+1=\frac{5x^5-4x^2+y^2+z^2}{x^5+y^2+z^2}=\frac{3x^5+\left(2x^5+y^2+z^2-4x^2\right)}{x^5+y^2+z^2}\)
\(\ge\frac{3x^5+4\sqrt[4]{x^{10}y^2z^2}-4x^2}{x^5+y^2+z^2}\ge\frac{3x^5}{x^5+y^2+z^2}=\frac{3x^4}{x^4+\frac{y^2+z^2}{x}}\ge\frac{3x^4}{x^4+yz\left(y^2+z^2\right)}\ge\frac{3x^4}{x^4+y^4+z^4}\)
suy ra: \(\frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2}\ge\frac{3}{4}.\frac{x^4}{x^4+y^4+z^4}-\frac{1}{4}\)
tương tự ta có: \(\frac{y^5-y^2}{y^5+z^2+x^2}\ge\frac{3}{4}.\frac{y^4}{x^4+y^4+z^4}-\frac{1}{4}\)
\(\frac{z^5-z^2}{z^5+y^2+x^2}\ge\frac{3}{4}.\frac{z^4}{x^4+y^4+z^4}-\frac{1}{4}\)
Cộng theo vế ta được:
\(VT\ge\frac{3}{4}.\frac{x^4+y^4+z^4}{x^4+y^4+z^4}-\frac{3}{4}=0\)
Vậy BĐT đc c/m
p/s: bài này mk cx k chắc (nhờ bn ktra nó kêu cứ sai sai nên mk cx k rõ) bạn tham khảo, sai đâu ib cho mk nhé
thân ái!
23 tháng 4 2019
Áp dụng BĐT: \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)( tự c/m)
Dấu " = " xảy ra <=> \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)
Áp dụng: \(\frac{x}{1+y^2}+\frac{y}{1+x^2}=\frac{x^2}{x+xy^2}+\frac{y^2}{y+x^2y}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y+x^2y+xy^2}=\frac{2^2}{2+xy\left(x+y\right)}=\frac{4}{2+2xy}\)
Áp dụng BĐT \(\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\ge2xy\)( tự c/m)
Dấu " = " xảy ra <=> x=y
Áp dụng: \(\frac{x}{1+y^2}+\frac{y}{1+x^2}\ge\frac{4}{2+2xy}\ge\frac{4}{2+\frac{\left(x+y\right)^2}{2}}=\frac{4}{2+2}=1\)
Dấu " = " xảy ra <=> x=y=1
T
23 tháng 4 2019
Một lời giải rất quen thuộc đó là dùng cô si ngược dấu:
\(x.\frac{1}{1+y^2}=x\left(1-\frac{y^2}{1+y^2}\right)\ge x\left(1-\frac{y^2}{2y}\right)=x-\frac{xy}{2}\)
Tương tự,ta cũng có: \(\frac{y}{1+x^2}\ge y-\frac{xy}{2}\)
Cộng theo vế hai BĐT trên và áp dụng BĐT \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\),ta được:
\(VT\ge\left(x+y\right)-xy\ge2-\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=2-1=1^{\left(đpcm\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = 1
LM
1
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
10 tháng 6 2021
\(A=x^2+3xy+4y^2=\frac{7}{16}x^2+\frac{9}{16}x^2+3xy+4y^2=\frac{7}{16}x^2+\left(\frac{3}{4}x+2y\right)^2\)
\(\ge\frac{7}{16}.1^2+0^2=\frac{7}{16}\)
Dấu \(=\)khi \(\hept{\begin{cases}x=1\\\frac{3}{4}x+2y=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=-\frac{3}{8}\end{cases}}\).
DF
1
14 tháng 1 2021
Ta có x + y + z = 1 nên z = 1 - x - y.
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
\(\dfrac{\sqrt{xy+z\left(x+y+z\right)}+\sqrt{2x^2+2y^2}}{1+\sqrt{xy}}\ge1\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}+\sqrt{2x^2+2y^2}\ge1+\sqrt{xy}\).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz:
\(\left(z+x\right)\left(z+y\right)\ge\left(\sqrt{z}.\sqrt{z}+\sqrt{x}.\sqrt{y}\right)^2=\left(z+\sqrt{xy}\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\ge z+\sqrt{xy}=\sqrt{xy}-x-y+1\); (1)
\(\sqrt{2x^2+2y^2}=\sqrt{\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)}\ge x+y\). (2)
Cộng vế với vế của (1), (2) ta có đpcm.
Ta có: \(3x+4y=5\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{5-4y}{3}\)
Ta cần chứng minh:
\(x^2+y^2\ge1\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{5-4y}{3}\right)^2+y^2-1\ge0\)
\(\Leftrightarrow25y^2-40y+16\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(5y-4\right)^2\ge0\)(đúng)
Ta có : \(3x+4y=5\Rightarrow y=\frac{5-3x}{4}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=x^2+\frac{\left(5-3x\right)^2}{16}=x^2+\frac{9x^2-30x+25}{16}\)
\(=\frac{16x^2+9x^2-30x+25}{16}=\frac{25x^2-30x+25}{16}=\frac{\left(25x^2-30x+9\right)+16}{16}\)
\(=\frac{\left(5x-3\right)^2+16}{16}\ge\frac{16}{16}=1\)(đpcm)