Question

[Ngọc Lee]

1.Tìm số nguyên dương bé nhất n sao cho trong khai triển (1+x)ⁿ có hai hệ số liên tiếp có tỉ số là 7/5

2. Trong khai triển (x-2)¹⁰⁰ =a₀ +a₁x+ ...+ a₁₀₀x¹⁰⁰. Hệ số a₉₇ là bao nhiêu ?

Giúp mình với 🥰🥺

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

\(\left(1+x\right)^n=\sum\limits^n_{k=0}C_n^kx^k\)

Hệ số của 2 số hạng liên tiếp là \(C_n^k\) và \(C_n^{k+1}\)

\(\Rightarrow7C_n^k=5C_n^{k+1}\Leftrightarrow\frac{7n!}{k!.\left(n-k\right)!}=\frac{5n!}{\left(k+1\right)!\left(n-k-1\right)!}\)

\(\Leftrightarrow\frac{7}{n-k}=\frac{5}{k+1}\Leftrightarrow7k+7=5n-5k\)

\(\Leftrightarrow5n=12k+7\Rightarrow n=\frac{12k+7}{5}\)

\(\Rightarrow n_{min}=11\) khi \(k=4\)

2/ \(\left(x-2\right)^{100}=\sum\limits^{100}_{k=0}C_{100}^kx^k.\left(-2\right)^{100-k}\)

\(a_{97}\) là hệ số của \(x^{97}\Rightarrow k=97\)

Hệ số là \(C_{100}^{97}.\left(-2\right)^3\)