Question

[kagamine rin len]

1)tìm nghiệm nguyên (x,y) của phương trình

\(x^2-3y^2+2xy-2x-10y+4=0\)

2) cho a,b,c là 3 số duong thỏa mãn điều kiện \(ab\sqrt{ab}+bc\sqrt{bc}+ca\sqrt{ca}=1\)

P=\(\frac{a^6}{a^3+b^3}+\frac{b^6}{b^3+c^3}+\frac{c^6}{c^3+a^3}.\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của P

3) giải phương trình 

\(x^4-2\sqrt{3}x^2+x+3-\sqrt{3}=0\)

Answer 1

[Vũ Trọng Nghĩa]

Đặt  \(A=ab\sqrt{ab}+bc\sqrt{bc}+ac\sqrt{ac}=1.\\ \)( cho đỡ phải đánh máy nhiều )

Ta có : \(\frac{a^6}{a^3+b^3}=a^3-\frac{a^3b^3}{a^3+b^3}\ge a^3-\frac{a^3b^3}{2\sqrt{a^3b^3}}=a^3-\frac{ab\sqrt{ab}}{2}\left(1\right).\)

( do a,b> 0 nên \(a^3+b^3\ge2\sqrt{a^3b^3}\Rightarrow\frac{a^3b^3}{a^3+b^3}\le\frac{a^3b^3}{2\sqrt{a^3b^3}}\))

chứng minh tương tự ta có :

\(\frac{b^6}{b^6+c^6}\ge b^3-\frac{bc\sqrt{bc}}{2}\left(2\right).\);    \(\frac{c^6}{c^3+a^3}\ge c^3-\frac{ca\sqrt{ca}}{2}\left(3\right).\)

cộng vế với vế các bđt (1) (2), (3) ta được :

\(P\ge a^3+b^3+c^3-\frac{A}{2}\left(4\right).\)

Áp dụng BĐT Cô si ( AM - GM ) : \(\frac{a^3+b^3}{2}\ge\sqrt{a^3b^3}=ab\sqrt{ab}.\)( làm tương tự 2 lần nữa với a^3, b^3 , c^3 rồi cộng vế với vế ta được )

=>  \(a^3+b^3+c^3\ge ab\sqrt{ab}+bc\sqrt{bc}+ca\sqrt{ca}=A\left(5\right).\)

Thay (5) vào (4) ta được :

\(P\ge A-\frac{A}{2}=\frac{A}{2}=\frac{1}{2}.\)

Vậy Pmin = 1/2 khi a = b = c = \(\frac{1}{\sqrt[3]{3}}.\)