K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
HT
12 tháng 3 2017
a. Ta có: \(\frac{1}{2^2}\)< \(\frac{1}{1.3}\)
\(\frac{1}{4^2}\)< 1/(3.5)
1/(6^2) <1/(5.7)
...
1/(2n)^2 < 1/(2n-1)(2n+1)
=> 1/2^2 +1/4^2 + 1/6^2 +...+1/(2n)^2 < 1/(1.3) +...+1/(2n-1)(2n+1)
=> 2(1/2^2 +1/4^2 + 1/6^2 +...+1/(2n)^2) < (1/1 - 1/3 +1/3 - 1/5 + 1/5 - 1/7 +...+ 1/(2n-1) - 1/(2n+1)
=>2(1/2^2 +1/4^2 + 1/6^2 +...+1/(2n)^2) < 1 - 1/(2n+1) = 2n/(2n+1)
=> 1/2^2 +1/4^2 + 1/6^2 +...+1/(2n)^2 < 2n/(2n+1) . 1/2
Vì 2n/2n+1 < 1 => 2n/(2n+1) . 1/2 < 1/2
=> 1/2^2 +1/4^2 + 1/6^2 +...+1/(2n)^2 <1/2
Câu b tương tự
18 tháng 6 2016
Ta xét đẳng thức phụ : \(1+\frac{1}{\left(k-1\right)^2}+\frac{1}{k^2}=1^2+\frac{1}{\left(k-1\right)^2}+\frac{1}{k^2}+2\left[\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k\left(k-1\right)}+\frac{1}{k}\right]=\left(1+\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{1+\frac{1}{\left(k-1\right)^2}+\frac{1}{k^2}}=\left|1+\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right|=1+\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\)
Áp dụng được :
\(S=\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{2015^2}+\frac{1}{2016^2}}\)
\(=\left(1+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+...+\left(1+\frac{1}{2015}-\frac{1}{2016}\right)=2015+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2015}-\frac{1}{2016}=2016-\frac{1}{2016}\)
7 tháng 4 2020
Áp dụng BĐT Cauchy ta có: \(\frac{1}{a^2+1}=\frac{\left(a^2+1\right)-a^2}{a^2+1}=1-\frac{a^2}{a^2+1}\ge1-\frac{a^2}{2a}=1-\frac{a}{2}\)
Hoàn toàn tương tự ta được
\(\frac{1}{b^2+1}\ge1-\frac{b}{2};\frac{1}{c^2+1}\ge1-\frac{c}{2};\frac{1}{d^2+1}\ge1-\frac{d}{2}\)
Cộng theo vế của từng BĐT trên ta được
\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}+\frac{1}{d^2+1\ge2}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=d=1
Nguồn: Nguyễn Thị Thúy
26 tháng 10 2017
\(S=\frac{1}{2}.\frac{3}{5}.\frac{5}{7}...\frac{2015}{2017}\)
\(=\frac{1}{2017}\)
Cách phân tích thì dễ thôi\(\frac{1}{2^2-1}=\frac{1}{\left(2-1\right)\left(2+1\right)}=\frac{1}{3}\)
Các cái kia tương tự
26 tháng 10 2017
\(S=\frac{1}{3}.\frac{3}{5}.\frac{5}{7}...\frac{2015}{2017}\)
Mình ghi nhầm
LB
7 tháng 5 2017
bài 1
\(ĐKXĐ:1+x\ne0\Rightarrow x\ne-1\)
\(\frac{3-7x}{1+x}=\frac{1}{2}\Rightarrow2\left(3-7x\right)=1+x\)
\(\Leftrightarrow6-14x=1+x\\
\Leftrightarrow-14x-x=1-6\\
\Leftrightarrow-15x=-5\\
\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}\left(N\right)\)
1 tháng 6 2019
\(1,\)\(\frac{x+2}{x+3}+\frac{x-1}{x+1}=\frac{2}{x^2+4x+3}+1\)
\(\Rightarrow\frac{\left(x+2\right)\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}+\frac{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}=\frac{2}{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}+\frac{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}\)
\(\Rightarrow\)\(x^2+3x+2+x^2-2x-3=2+x^2+4x+3\)
\(\Rightarrow x^2-3x-6=0\)
.....
1 tháng 6 2019
\(\frac{x+1}{x-2}+\frac{2x-1}{x-1}=\frac{2}{x^2-3x+2}+\frac{11}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{2\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{2\left(x-2\right)\left(x-1\right)}+\frac{2\left(2x-1\right)\left(x-2\right)}{2\left(x-1\right)\left(x-2\right)}\)\(=\frac{4}{2\left(x-1\right)\left(x-2\right)}+\frac{22\left(x-1\right)\left(x-2\right)}{2\left(x-1\right)\left(x-2\right)}\)
\(\Rightarrow2x^2-2+4x^2-10x+4=4+22x^2-66x+44\)
.....
1^2+2^2+1/2= 1+4+0,5=5,5
12 + 22 + \(\frac{1}{2}\)
= 1 + 4 + \(\frac{1}{2}\)
= 5 + \(\frac{1}{2}\)
=\(\frac{2.5}{2}\)+ \(\frac{1}{2}\)
= \(\frac{11}{2}\)