Question

[anhtram huynh]

1. Cho nửa đường tròn tâm (o),, đường kính AB=6. Trên đoạn OB lấy điểm H sao cho HB=2HO. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt nửa đường tròn tại điểm C. Vẽ đường tâm (I) đường kính OA cắt AC tại D. Gọi E là giao điểm của OC và BD.

a) CM AD=CD

b) CM 4 điểm O,D,C,H cùng nằm trên 1 đường tròn

c) CM BD là tiếp tuyến của đường tròn (I)

 2. Cho 3 số a,b,c không âm thỏa mãn: a + b + c = 1008. CM rằng:

\(\sqrt{2016a+\frac{\left(b-c\right)^2}{2}}\) + \(\sqrt{2016b+\frac{\left(c-a\right)^2}{2}}\)+ \(\sqrt{2016c+\frac{\left(a-b\right)^2}{2}}\)\(\le\)2016\(\sqrt{2}\)

GIÚP MÌNH VỚI. PLEASE 

Answer 1

[Thắng Nguyễn]

Ta có:

\(\sqrt{2016a+\frac{\left(b-c\right)^2}{2}}=\sqrt{2016a+\frac{b^2-2bc+c^2}{2}}=\sqrt{2016a+\frac{b^2+2bc+c^2-4bc}{2}}\)

\(=\sqrt{2016a+\frac{\left(b+c\right)^2-4bc}{2}}=\sqrt{2016a+\frac{\left(b+c\right)^2}{2}-2bc}\)

\(\le\sqrt{2016a+\frac{\left(b+c\right)^2}{2}}\left(b,c\ge0\right)=\sqrt{2016a+\frac{\left(a+b+c-a\right)^2}{2}}\)

\(=\sqrt{2016a+\frac{\left(1008-a\right)^2}{2}}=\sqrt{\frac{\left(1008+a\right)^2}{2}}=\frac{1008+a}{\sqrt{2}}\left(a\ge0\right)\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có: 

\(\sqrt{2016b+\frac{\left(c-a\right)^2}{2}}\le\frac{1008+b}{\sqrt{2}};\sqrt{2016c+\frac{\left(a-b\right)^2}{2}}\le\frac{1008+c}{\sqrt{2}}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có: 

\(VT\le\frac{3\cdot1008+\left(a+b+c\right)}{\sqrt{2}}=\frac{4\cdot1008}{\sqrt{2}}=2016\sqrt{2}\)