Cho a,b là hai số thực dương thoả mãn \({\sqrt{ab}}= {a+b \over a-b}\)
Tìm Min \(P= {ab+ {a-b \over \sqrt{ab}}}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
12 tháng 11 2017
Theo bài có : \(\sqrt{ab}=\frac{a+b}{a-b}\) (1) nên suy ra : \(\frac{a+b}{a-b}\ge0\)
Mà a+b > 0 do a,b là số thực dương nên suy ra : a-b > 0 hay a > b
Có : \(\sqrt{ab}=\frac{a+b}{a-b}\)
\(\Leftrightarrow\)ab = \(\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a-b\right)^2}\)=\(\frac{\left(a-b\right)^2+4ab}{\left(a-b\right)^2}\)= \(1+\frac{4ab}{\left(a-b\right)^2}\)
Ta có : P = ab + \(\frac{a-b}{\sqrt{ab}}\)= \(1+\frac{4ab}{\left(a-b\right)^2}\) + \(\frac{a-b}{2\sqrt{ab}}\)+ \(\frac{a-b}{2\sqrt{ab}}\) \(\ge\)4\(\sqrt[4]{1.\frac{4ab}{\left(a-b\right)^2}.\frac{a-b}{2\sqrt{ab}}.\frac{a-b}{2\sqrt{ab}}}\)= 4\(\sqrt[4]{1}\)= 4 ( theo BĐT Cô -si)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}\frac{a-b}{2\sqrt{ab}}=1\\\frac{a-b}{2\sqrt{ab}}=\frac{4ab}{\left(a-b\right)^2}\\\frac{4ab}{\left(a-b\right)^2}=1\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow a=b.\left(\sqrt{2}+1\right)^2\)
Thay a = b.\(\left(\sqrt{2}+1\right)^2\)vào (1) rồi tính ra ta được :\(\hept{\begin{cases}a=2+\sqrt{2}\\b=2-\sqrt{2}\end{cases}}\left(thỏamãn\right)\)
Vậy P min = 4 đạt được khi \(\hept{\begin{cases}a=2+\sqrt{2}\\b=2-\sqrt{2}\end{cases}}\)
23 tháng 1 2021
1) Áp dụng bất đẳng thức AM - GM và bất đẳng thức Schwarz:
\(P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\sqrt{ab}}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\dfrac{a+b}{2}}\ge\dfrac{4}{a+\dfrac{a+b}{2}}=\dfrac{8}{3a+b}\ge8\).
Đẳng thức xảy ra khi a = b = \(\dfrac{1}{4}\).
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 1 2021
2.
\(4=a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\Rightarrow a+b\le2\sqrt{2}\)
Đồng thời \(\left(a+b\right)^2\ge a^2+b^2\Rightarrow a+b\ge2\)
\(M\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4\left(a+b+2\right)}=\dfrac{x^2}{4\left(x+2\right)}\) (với \(x=a+b\Rightarrow2\le x\le2\sqrt{2}\) )
\(M\le\dfrac{x^2}{4\left(x+2\right)}-\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1\)
\(M\le\dfrac{\left(2\sqrt{2}-x\right)\left(x+4-2\sqrt{2}\right)}{4\left(x+2\right)}+\sqrt{2}-1\le\sqrt{2}-1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=2\sqrt{2}\) hay \(a=b=\sqrt{2}\)
3. Chia 2 vế giả thiết cho \(x^2y^2\)
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{1}{xy}\ge\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\)
\(\Rightarrow0\le\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\le4\)
\(A=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{1}{xy}\right)=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\le16\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
C
25 tháng 4 2017
P = ab + \(\frac{a-b}{\sqrt{ab}}\)
Thay a - b = \(\frac{a+b}{\sqrt{ab}}\)vào P
=> P = ab + \(\frac{a+b}{\sqrt{ab}\sqrt{ab}}\)
= ab + \(\frac{a+b}{ab}\)>= 2\(\sqrt{a+b}\)
Làm tiếp cứ đi vòng vòng mà không có lối ra.
30 tháng 8 2021
\(VT=\sqrt{\dfrac{a^2b^2}{c\left(a+b+c\right)+ab}}+\sqrt{\dfrac{b^2c^2}{a\left(a+b+c\right)+bc}}+\sqrt{\dfrac{a^2c^2}{b\left(a+b+c\right)+ac}}\\ VT=\sqrt{\dfrac{a^2b^2}{ac+ab+bc+c^2}}+\sqrt{\dfrac{b^2c^2}{a^2+ac+ab+bc}}+\sqrt{\dfrac{a^2c^2}{ab+bc+b^2+ac}}\\ VT=\sqrt{\dfrac{a^2b^2}{\left(c+a\right)\left(b+c\right)}}+\sqrt{\dfrac{a^2c^2}{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}}+\sqrt{\dfrac{b^2c^2}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{\dfrac{b^2c^2}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\dfrac{\dfrac{bc}{a+b}+\dfrac{bc}{a+c}}{2}\\\sqrt{\dfrac{a^2c^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\le\dfrac{\dfrac{ca}{a+b}+\dfrac{ca}{b+c}}{2}\\\sqrt{\dfrac{a^2b^2}{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}}\le\dfrac{\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{ab}{a+c}}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow VT\le\dfrac{\left(\dfrac{bc}{a+b}+\dfrac{ca}{a+b}\right)+\left(\dfrac{ca}{b+c}+\dfrac{ab}{b+c}\right)+\left(\dfrac{bc}{a+c}+\dfrac{ab}{a+c}\right)}{2}\\ \Rightarrow VT\le\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{2}{2}=1\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{2}{3}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
21 tháng 5 2021
Lời giải:
Hiển nhiên $a-b>0$.
Ta có:
\(P=\sqrt{ab}.\sqrt{ab}+\frac{a-b}{\sqrt{ab}}=\sqrt{ab}.\frac{a+b}{a-b}+\frac{a-b}{\sqrt{ab}}\geq 2\sqrt{a+b}\) theo BĐT AM-GM.
Mặt khác:
Từ ĐKĐB suy ra \(ab(a-b)^2=(a+b)^2\)
\(\Leftrightarrow ab[(a+b)^2-4ab]=(a+b)^2\)
Đặt $a+b=x; ab=y$ với $x,y>0; x^2\geq 4y$ thì:
\(y(x^2-4y)=x^2\Leftrightarrow x^2(y-1)=4y^2\)
Hiển nhiên $y>1$
$\Rightarrow x^2=\frac{4y^2}{y-1}=\frac{4(y^2-1)}{y-1}+\frac{4}{y-1}$
$=4(y+1)+\frac{4}{y-1}=4(y-1)+\frac{4}{y-1}+8$
$\geq 2\sqrt{4(y-1).\frac{4}{y-1}}+8=16$ (AM-GM)
$\Rightarrow x\geq 4$ hay $a+b\geq 4$
Do đó: $P\geq 2\sqrt{a+b}\geq 2\sqrt{4}=4$
Vậy $P_{\min}=4$
Giá trị này đạt tại $(a,b)=(2+\sqrt{2}, 2-\sqrt{2})$
