Question

[Linh_Chi_chimte]

Cho BT M=\(\frac{a+1}{\sqrt{a}}+\frac{a\sqrt{a}-1}{a-\sqrt{a}}+\frac{a^2-a\sqrt{a}+\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}-a\sqrt{a}}\)với a>0, a khác 1

a) CMR: M>4

b) với những giá trị nào của a thì bt N=\(\frac{6}{M}\)nhận gt nguyên

Answer 1

[Cô Hoàng Huyền]

a) \(M=\frac{a+1}{\sqrt{a}}+\frac{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(a+\sqrt{a}+1\right)}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}+\frac{a\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)+\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}-a\sqrt{a}}\)

\(M=\frac{a+1}{\sqrt{a}}+\frac{a+\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}}+\frac{\left(a\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}{\sqrt{a}-a\sqrt{a}}\)

\(M=\frac{2a+\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}}+\frac{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(a-\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)\left(1-\sqrt{a}\right)}\)

\(M=\frac{2a+\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}}+\frac{a-\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}}\)

\(M=\frac{3a+3}{\sqrt{a}}\)

Xét \(M-4=\frac{3a+3}{\sqrt{a}}-4=\frac{3a-4\sqrt{a}+3}{\sqrt{a}}=\frac{3\left(\sqrt{a}-\frac{2}{3}\right)^2+\frac{5}{3}}{\sqrt{a}}>0\forall x\in TXĐ\)

Vậy \(M>4.\)

b) \(N=\frac{6}{M}=\frac{6}{\frac{3a+3}{\sqrt{a}}}=\frac{2\sqrt{a}}{a+1}=\frac{2}{\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}}\)

Để N nguyên thì \(\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}\inƯ\left(2\right)=\left\{-2;-1;1;2\right\}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dương, ta có  \(\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}\ge2\Rightarrow\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}=2\)

 \(\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}=2\Leftrightarrow a=1\)   (Vô lý)

Vậy không tồn tại giá trị của a để N nguyên.

Answer 2

[『ღƤℓαէїŋʉɱ ₣їɾεツ』]

chị quản lí làm sai rùi