Cho: A = \(\frac{2}{3^2}+\frac{2}{5^2}+\frac{2}{7^2}+\frac{2}{9^2}+...+\frac{2}{2011^2}\)
Chứng minh rằng: A < \(\frac{1005}{2012}\)
♥ HELP ME ♥
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
22 tháng 2 2018
Ta có :
\(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{2011^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{2010.2011}\)\(=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2010}-\frac{1}{2011}=1-\frac{1}{2011}=\frac{2010}{2011}>\frac{2010}{2680}=\frac{3}{4}\)
Hình như có gì đó sai sai :')
GW
12 tháng 9 2021
a )
Theo bài ra: (a - 4) chia hết cho 5 => (a - 4) + 20 chia hết cho 5 => a + 16 chia hết cho 5
(a - 5) chia hết cho 7 => (a - 5) + 21 chia hết cho 7 => a + 16 chia hết cho 7
(a - 6) chia hết cho 11 => (a - 6) + 22 chia hết cho 11 => a + 16 chia hết cho 11
=> a + 16 thuộc BC(5; 7; 11)
Mà BCNN(5; 7; 11) = 385
=> a + 16 thuộc B(385) = {0; 385; 770; ...}
=> a thuộc {-16; 369; 754;...}
Vì a là số tự nhiên nhỏ nhất
=> a = 369
b ) \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+.......+\frac{1}{2011^2}+\frac{1}{2012^2}.\)
Ta có :
\(\frac{1}{2^2}=\frac{1}{2.2}< \frac{1}{1.2}\)
\(\frac{1}{3^2}=\frac{1}{3.3}< \frac{1}{2.3}\)
.....................
\(\frac{1}{2012^2}=\frac{1}{2012.2012}< \frac{1}{2011.2012}\)
Ta có :
\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+.......+\frac{1}{2011^2}+\frac{1}{2012^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{2011.2012}\)
\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+.......+\frac{1}{2011^2}+\frac{1}{2012^2}< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2011}-\frac{1}{2012}\)
\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+.......+\frac{1}{2011^2}+\frac{1}{2012^2}< 1-\frac{1}{2012}\)
\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+.......+\frac{1}{2011^2}+\frac{1}{2012^2}.< \frac{2011}{2012}\)
Mà \(\frac{2011}{2012}< 1\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+.......+\frac{1}{2011^2}+\frac{1}{2012^2}< 1\)
LM
Lê Minh Vũ
VIP
12 tháng 9 2021
\(b)\)\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+...+\frac{1}{2011^2}+\frac{1}{2012^2}\)
\(< \)\(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+\frac{1}{2010.2011}+\frac{1}{2011.2012}\)
\(< \)\(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2011}-\frac{1}{2012}\)
\(< \)\(1-\frac{1}{2012}\)\(=\frac{2011}{2012}< 1\)
Vậy Biểu thức \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+...+\frac{1}{2011^2}+\frac{1}{2012^2}\)\(< 1\)
12 tháng 6 2016
Ta có: \(3^2>2\cdot4\Rightarrow\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2\cdot4}\)
\(5^2>4\cdot6\Rightarrow\frac{1}{5^2}< \frac{1}{4\cdot6}\)
...
\(n^2>n^2-1=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\Rightarrow\frac{1}{n^2}< \frac{1}{\left(n-1\right)\left(n+1\right)}\)
Vậy,
\(\frac{2}{3^2}+\frac{2}{5^2}+\frac{2}{7^2}+...+\frac{2}{2011^2}< \frac{2}{2\cdot4}+\frac{2}{4\cdot6}+\frac{2}{6\cdot8}+...+\frac{2}{2010\cdot2012}\)
\(=\frac{4-2}{2\cdot4}+\frac{6-4}{4\cdot6}+\frac{8-6}{6\cdot8}+...+\frac{2012-2010}{2010\cdot2012}\)
\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2010}-\frac{1}{2012}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2012}=\frac{1006-1}{2012}=\frac{1005}{2012}\)
_ĐPCM
N
4 tháng 7 2017
\(A=\frac{3}{1^2.2^2}+\frac{5}{2^2.3^2}+.......+\frac{19}{9^2.10^2}\)
\(A=\frac{3}{1.4}+\frac{5}{4.9}+.......+\frac{19}{81.100}\)
\(A=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{9}+.......+\frac{1}{81}-\frac{1}{100}\)
\(A=1-\frac{1}{100}\)
\(A=\frac{99}{100}< \frac{100}{100}=1\)
\(\Rightarrow A< 1\)
Proed_Game_Toàn không biết thì đừng Spam.
Giải:
\(A=\frac{2}{3^2}+\frac{2}{5^2}+\frac{2}{7^2}+\frac{2}{9^2}+...+\frac{2}{2011^2}\)
\(2A=2.\left(\frac{2}{3^2}+\frac{2}{5^2}+\frac{2}{7^2}+\frac{2}{9^9}+...+\frac{2}{2011^2}\right)\)
\(2A=\left(1-\frac{2}{3^2}\right)+\left(1-\frac{2}{5^2}\right)+\left(1-\frac{2}{7^2}\right)+\left(1-\frac{2}{9^2}\right)+...+\left(1-\frac{2}{2011^2}\right)\)
...
P/s: Tới đây là dễ rùi, kết quả tự tình và tự CM nhé!
Câu trả lời hay nhất: P = x⁴ + 2x³ + 3x² + 2x + 1
. .= (x⁴ + x³ + x²) + (x³ + x² + x) + (x² + x + 1)
. .= x²(x² + x + 1) + x(x² + x + 1) + (x² + x + 1)
. .= (x² + x + 1)(x² + x + 1)
. .= (x² + x + 1)²
P nhỏ nhất khi x² + x + 1 nhỏ nhất
x² + x + 1 = (x + 1/2)² + 3/4 ≥ 3/4;
đẳng thức xảy ra khi x = -1/2
Do đó
P ≥ (3/4)²
P ≥ 9/16
GTNN của P là 9/16 và điều này xảy ra khi x = -1/2