Question

[Nguyễn Huệ Lam]

Cho (O) và (O') cắt nhau tại 2 điểm A và B. Trên tia đối tia AB lấy điểm M khác điểm A. Qua  M vẽ các tiếp tuyến MC, MD với (O') (C, D là tiếp điểm và C nằm ngoài (O). Đường thẳng AC cắt (O) tại P (khác A), AD cắt (O) tại Q (khác A). CD cắt PQ tại K

a) Chứng minh \(\Delta BCD\)đồng dạng với \(\Delta BPQ\)

b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác KPC luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi

c) Chứng minh OK vuông góc với PQ

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

a) Xét tứ giác ADBC: Nội tiếp đường tròn (O') => ^BCD = ^BAD (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BD). Hay ^BCD = ^BAQ (1)

Ta thấy: ^BAQ = ^BPQ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BQ) (2)

Từ (1);(2) => ^BCD = ^BPQ

Do tứ giác ADBC nội tiếp (O') nên ^DBC = ^DAP (Cùng phụ ^CAD) hay ^DBC = ^QAP

Mà ^QAP = ^QBP (Cùng chắn cung PQ) nên ^DBC = ^QBP 

Xét \(\Delta\)BCD và \(\Delta\)BPQ có: ^BCD = ^BPQ; ^DBC = ^QBP  => \(\Delta\)BCD ~ \(\Delta\)BPQ (g.g) (đpcm).

b) Ta có: ^BCD = ^BPQ (cmt) => ^BCK = ^BPK => Tứ giác BKPC nội tiếp đường tròn 

=> (KPC) đi qua B. Mà B cố định nên (KPC) luôn đi qua 1 điểm cố định khi M chạy trên tia đối AB (đpcm).

c) Theo t/c góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung: ^MCA = ^MBC

Xét \(\Delta\)MAC và \(\Delta\)MCB có: ^MCA = ^MBC; ^BMC chung => \(\Delta\)MAC ~ \(\Delta\)MCB (g.g)

=> \(\frac{BC}{AC}=\frac{MB}{MC}\). Tương tự: \(\frac{AD}{BD}=\frac{MD}{MB}\) 

=> \(\frac{AD.BC}{AC.BD}=\frac{MB.MD}{MB.MC}=\frac{MD}{MC}=1\)(MD=MC theo t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau) => \(\frac{AD}{AC}.\frac{BC}{BD}=1\)(3)

Xét \(\Delta\)BPC và \(\Delta\)BQD có: ^BPC = ^BQD (Cùng chắn cung AB); ^BCP = ^BDQ (Cùng phụ ^BDA)

=> \(\Delta\)BPC ~ \(\Delta\)BQD (g.g)  => \(\frac{BC}{BD}=\frac{PC}{QD}\)(4)

Từ (3) và (4) => \(\frac{AD}{AC}.\frac{PC}{QD}=1\) hay \(\frac{AD}{QD}.\frac{PC}{AC}=1\)               (5)

Áp dụng ĐL Melelaus cho \(\Delta\)APQ ta có: \(\frac{QK}{PK}.\frac{AD}{QD}.\frac{PC}{AC}=1\)    (6)

Thế (5) vào (6), suy ra: \(\frac{QK}{PK}=1\) => QK = PK => K là trung điểm PQ

Xét đường tròn (O) có: Dây cung PQ với K là trung điểm PQ => OK vuông góc với PQ (đpcm).