Question

[minhduc]

Bài 11:Cho các số a,b,c không âm không đồng thời bằng không. Chứng minh rằng;

∑2a2−bcb2−bc+c2≥3

Bài 8:

Cho các số thực a,b,c,x,y thỏa mãn ax−by=√3ax−by=3.

Tìm GTNN của F=a2+b2+x2+y2+bx+ay

Answer 1

[minhduc]

Bài 8:

Cho các số thực a,b,c,x,y thỏa mãn ax−by=√3ax−by=3.

Tìm GTNN của F=a2+b2+x2+y2+bx+ayF=a2+b2+x2+y2+bx+ay

Lời giải:

Sử dụng giả thiết ax−by=√3ax−by=3 ta có:

(a2+b2)(x2+y2)=(ax+by)2+(ax−by)2=(ax+by)2+3(a2+b2)(x2+y2)=(ax+by)2+(ax−by)2=(ax+by)2+3

Áp dụng bất đẳng thức CauchyCauchy , suy ra:

a2+b2=x2+y2=(a2+b2)+(x2+y2)≥2√(a2+b2)(x2+y2)=2√(ax+by)2+3a2+b2=x2+y2=(a2+b2)+(x2+y2)≥2(a2+b2)(x2+y2)=2(ax+by)2+3

Do đó, ta đưa về bài toán tìm GTNN của: 2√x2+3+x2x2+3+x trong đó x=ax+byx=ax+by

Ta có:

(2√x2+3+x)2=4(x2+3)+4x√x2+3+x2=(x2+3)+4x√x2+3+4x2+9=(√x2+3+2x)2+9≥9(2x2+3+x)2=4(x2+3)+4xx2+3+x2=(x2+3)+4xx2+3+4x2+9=(x2+3+2x)2+9≥9

⇒2√x2+3+x≥3⇒2x2+3+x≥3

Vậy MinT=3MinT=3

Bài 11:Cho các số a,b,c không âm không đồng thời bằng không. Chứng minh rằng;

∑2a2−bcb2−bc+c2≥3∑2a2−bcb2−bc+c2≥3

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử bb là số nằm giữa aa và cc

BĐT đã cho tương đương với

∑2a2+(b−c)2b2−bc+c2≥6∑2a2+(b−c)2b2−bc+c2≥6

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có

∑2a2b2−bc+c2≥2(a2+b2+c2)2∑a2(b2−bc+c2)=2(a2+b2+c2)22∑a2b2−abc∑a∑2a2b2−bc+c2≥2(a2+b2+c2)2∑a2(b2−bc+c2)=2(a2+b2+c2)22∑a2b2−abc∑a

∑(b−c)2b2−bc+c2≥[a(b−c)+b(a−c)+c(a−b)]22∑a2b2−abc∑a=4b2(a−c)22∑a2b2−abc∑a∑(b−c)2b2−bc+c2≥[a(b−c)+b(a−c)+c(a−b)]22∑a2b2−abc∑a=4b2(a−c)22∑a2b2−abc∑a

Do đó ta chỉ cần chứng minh

(a2+b2+c2)2+2b2(a−c)2≥6∑a2b2−3abc∑a(1)(a2+b2+c2)2+2b2(a−c)2≥6∑a2b2−3abc∑a(1)

Ta có 

b2(a−c)2=[a(b−c)+c(a−b)]2=a2(b−c)2+c2(a−b)2+2ac(a−b)(b−c)b2(a−c)2=[a(b−c)+c(a−b)]2=a2(b−c)2+c2(a−b)2+2ac(a−b)(b−c)

≥a2(b−c)2+c2(a−b)2≥a2(b−c)2+c2(a−b)2

Suy ra 

2b2(a−c)2≥a2(b−c)2+b2(c−a)2+c2(a−b)22b2(a−c)2≥a2(b−c)2+b2(c−a)2+c2(a−b)2

⇒VT(1)≥(∑a2)2+2∑a2b2−2abc∑a⇒VT(1)≥(∑a2)2+2∑a2b2−2abc∑a

Do đó ta chỉ còn phải chứng minh 

(∑a2)2+2∑a2b2−2abc∑a≥6∑a2b2−3abc∑a(∑a2)2+2∑a2b2−2abc∑a≥6∑a2b2−3abc∑a

⇔∑a4+abc∑a≥2∑a2b2⇔∑a4+abc∑a≥2∑a2b2

BĐT này hiển nhiên đúng theo BĐT Schur

∑a4+abc∑a≥∑ab(a2+b2)∑a4+abc∑a≥∑ab(a2+b2)

Và BĐT AM-GM

∑ab(a2+b2)≥2∑a2b2∑ab(a2+b2)≥2∑a2b2

Kết thúc chứng minh 

Đẳng thức xảy ra khi a=b=ca=b=c hoặc a=ba=b, c=0c=0 và các hoán vị.

Answer 2

[Sakuraba Laura]

Bạn leminhduc tự hỏi tự trả lời à