Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Xét \(\Delta\)ABM và \(\Delta\)ADN có: ^ABM = ^ADN (=900); AB=AD; BM=DN => \(\Delta\)ABM = \(\Delta\)ADN (c.g.c)
=> AM=AN (2 canh tương ứng); ^BAM = ^DAN (2 góc tương ứng). Mà ^BAM + ^DAM = 900
=> ^DAN + ^DAM = ^MAN = 900 => AM vuông góc AN
Ta có: MF//AN; NF//AM; AM vuông góc AN nên ^MAN = ^AMF = ^ANF = 900
Do đó: Tứ giác ANFM là hình chữ nhật. Lại có: AM=AN (cmt) => Tứ giác ANFM là hình vuông (đpcm).
b) Gọi I và J lần lượt là hình chiếu của F trên 2 đường thẳng CD và BC
Tứ giác ANFM là hình vuông => FM=FN
Xét tứ giác CNFM có: ^MCN = ^MFN = 900 => ^FNC + ^CMF = 1800 => ^FNC = ^FMJ hay ^FNI = ^FMJ
Xét \(\Delta\)FIN và \(\Delta\)FJM có: ^FIN = ^FJM (=900); FN=FM; ^FNI = ^FMJ
=> \(\Delta\)FIN = \(\Delta\)FJM (Ch.gn) => FI = FJ (2 cạnh tương ứng)
Xét ^MCN: Có FI và FJ là k/c từ điểm F tới 2 cạnh của góc này; FI=FJ
=> F nằm trên đường phân giác của ^MCN (đpcm).
c) Gọi giao điểm của tia AD và CF là E.
CF là phân giác ^MCN => ^FCN = ^MCN/2 = 450 => ^FCN = ^ACD = 450
=> \(\Delta\)ACE vuông tại C có đường phân giác CD. Mà CD vuông góc AE
=> \(\Delta\)ACE vuông cân tại C = >CD đồng thời là đường trung tuyến => D là trung điểm AE
Suy ra: OD là đường trung bình \(\Delta\)FAE => OD // EF hay OD // CF (1)
Dễ c/m: BD // CF (Do ^DBC + ^BCF = 450 + 1350 = 1800) (2)
Từ (1) và (2) => 3 điểm B;D;O thẳng hàng (đpcm).
d) Ta thấy: B;D;O là 3 điểm thẳng hàng; BD cố định nên O luôn thuộc đường thẳng BD cố định khi M di động trên Cx.
a, Theo giả thiết : AM//NF và AN//MF => ANFM là hình bình hành (1)
mà AD = AB; DN = BM => tg vuông ADN = tg vuông ABM => AN = AM (2)
và ^AND = ^AMB => AN _I_ AM (3) ( vì đã có DN _I_ BM)
(1) và (2) => ANFM là hình thoi (4)
(3) và (4) => ANFM là hình vuông
b, Gọi P và giao điểm của AM và CN. Dễ thấy tg vuông ANP đồng dạng tg vuông CMP ( vì có ^P đối đỉnh ) => AP/CP = AN/CM = FM/CM (5) (vì FM = AN)
Mặt khác : AP _I_ FM ( vì ANFM là hình vuông ) và CP _I_ CM => ^APC = ^FMC (6) ( góc có cạnh tương ứng vuông góc )
(5) và (6) => tg APC đồng dạng tam giác FMC => ^FCM = ^ACP = 45o = ^FCN => CF là tia phân giác của ^MCN và ^ACF = 90o
c, Dễ thấy AO/AM = AD/AC = √2 (7)
và vì ^OAM = ^DAC = 45o <=> ^OAM - ^DAM = ^DAC - ^DAM <=> ^OAD = ^MAC (8)
(7) và (8) => tg AOD đồng dạng tg AMC => ^ADO = ^ACM = 135o => ^ODN = 45o = ^BDC => B; D; O thẳng hàng
Dễ thấy BO//CF => BOFC là hình thang
(Đề là trên tia BC nha)
â) Xét tam giác ABM va tam giac ADN ( ABM = ADN=90) , co :
BM=DN(gt)
AD=AB(ABCD là hinh vuông)
=> tam giac ABM = tam giac ADN (cgv-cgv)
=>AN=AM va MAB = NAD
Ta co : MAB + DAM=90
Ma MAB =NAD (cmt)
=>NAD + DAM =90
<=> NAM =90
Xet tg ANFM , co : AN//FM (gt) va AM//NF (gt)
=> ANFM la hbh
Ma NAM =90 (cmt) ; AN=AM (cmt)
=> ANFM là hình vuông ( Vì đây là hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau )
b) Từ F kẻ FP vuông góc với NC , FH vuông góc với BC
Xét tam giác NPF và tam giác MHF (APF =HMF) , co :
MF = FN (AMFN la hinh vuong )
NFP=MFH ( cùng phụ với PFM )
=> tam giác NPF = tam giác MHF (c.huyen-gn)
=> PF=FH
Theo định lý đảo của tia phân giác trong NCM , co :
PF=FH(cmt)
Ma PF \(\perp\) PC (cách ve ) ; FH \(\perp\) CH
=> F nằm trên tia phân giác của NCM
c)Nói C và F , ta được CF là tia phân giác của NCM (câu b)
Ta có : PCF + FCH =PCH =90
Mà PCF = FCH ( CF là tia phân giác NCM)
=> PCH = 2 PCF (1)
Ta co : ACD + ACB = DCB =90
Mà ACD = ACB ( AC là tia phân giác DCB ; ABCD là hình vuông )
=> DCB = 2 ACD (2)
Từ (1) vả (2) => PCH + DCB = 2( PCF + ACD)
<=> 180 = 2 ( PCF + ACD)
<=> 180 = 2 . ACF
<=> ACF = 90
=>AC \(\perp\) CF( dpcm )
đ) Gọi R là giao điểm của hai đường chéo tg ABCD là AC và BD
Xét tam giác AFC , co :
OA =OF ( gt)
AR = CR ( do 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường trong hình vuông ABCD )
=> OR là đường trung bình của tam giác AFC
=> O và R cùng thuộc 1 đường thẳng
Mặt khác , ta có : R \(\in\) BD ( cach ve )
=> O \(\in\) BD
=> O , B, D thẳng hàng
Ta có : OB //FC ( OR là đường trung bình )
=> BOFC là hình thang
a, Theo giả thiết : AM//NF và AN//MF => ANFM là hình bình hành (1)
mà AD = AB; DN = BM => tg vuông ADN = tg vuông ABM => AN = AM (2)
và ^AND = ^AMB => AN _I_ AM (3) ( vì đã có DN _I_ BM)
(1) và (2) => ANFM là hình thoi (4)
(3) và (4) => ANFM là hình vuông
b, Gọi P và giao điểm của AM và CN. Dễ thấy tg vuông ANP đồng dạng tg vuông CMP ( vì có ^P đối đỉnh ) => AP/CP = AN/CM = FM/CM (5) (vì FM = AN)
Mặt khác : AP _I_ FM ( vì ANFM là hình vuông ) và CP _I_ CM => ^APC = ^FMC (6) ( góc có cạnh tương ứng vuông góc )
(5) và (6) => tg APC đồng dạng tam giác FMC => ^FCM = ^ACP = 45o = ^FCN => CF là tia phân giác của ^MCN và ^ACF = 90o
c, Dễ thấy AO/AM = AD/AC = \(\sqrt{2}\) (7)
và vì ^OAM = ^DAC = 45o <=> ^OAM - ^DAM = ^DAC - ^DAM <=> ^OAD = ^MAC (8)
(7) và (8) => tg AOD đồng dạng tg AMC => ^ADO = ^ACM = 135o => ^ODN = 45o = ^BDC => B; D; O thẳng hàng
Dễ thấy BO//CF => BOFC là hình thang
a,858 b,7567 c,7756