cho x,y,z>0, \(x+y+z\ge4\)tìm MIN
A=\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}\)\(+\frac{z^2}{x+y}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
S
13 tháng 8 2018
Áp dụng BĐT cauchy schawrz dạng engel ta có:
\(\frac{\left(y+z\right)^2}{x}+\frac{\left(x+z\right)^2}{y}+\frac{\left(x+y\right)^2}{z}\ge\frac{\left(y+z+x+z+x+y\right)^2}{x+y+z}=\frac{4\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z}=4\left(x+y+z\right)\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)
D
3 tháng 9 2018
Áp dụng BĐT cauchy schawrz dạng engel, ta có:
\(\frac{\left(y+z\right)^2}{x}+\frac{\left(x+z\right)^2}{y}+\frac{\left(x+y\right)^2}{z}\ge\frac{\left(y+z+x+z+x+y\right)^2}{x+y+z}=\frac{4\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z}=4\left(x+y+z\right)\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)
ML
9 tháng 8 2016
\(\hept{\begin{cases}x+z=a\\y+z=b\end{cases}}\); \(x-y=\left(x+z\right)-\left(y+z\right)=a-b\)
\(ab=1\Rightarrow b=\frac{1}{a}\)
\(A=VT=\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{\left(a-\frac{1}{a}\right)^2}+\frac{1}{a^2}+a^2\)
\(=\frac{a^2}{\left(a^2-1\right)^2}+a^2+\frac{1}{a^2}\)
\(t=a^2>0\)
\(A=\frac{t}{\left(t-1\right)^2}+t+\frac{1}{t}\)
\(A-4=\frac{\left(t^2-3t+1\right)^2}{t\left(t-1\right)^2}\ge0\)
\(\Rightarrow A\ge4\)
Dấu bằng xảy ra khi \(t=a^2=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}\)\(\Leftrightarrow a=\sqrt{\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=x+z=\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\\b=y+z=\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}\end{cases}}\) và hoán vị còn lại
Hệ trên có vô số nghiệm, chẳng hạn
\(\hept{\begin{cases}z=\frac{1}{10}\\x=\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}-\frac{1}{10}\\y=\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}-\frac{1}{10}\end{cases}}\)
CV
1
16 tháng 5 2017
Theo BĐT Cauchy-Schwarz:
\(P=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{y+z+z+x+x+y}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{4}{2}=2\)
Đảng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 4/3
15 tháng 5 2020
Bạn kiểm tra lại đề
\(z=max\left\{x;y;z\right\}\)hay \(z=min\left\{x;y;z\right\}\)
1 tháng 12 2016
Ta đặt \(\hept{\begin{cases}x+z=a\\y+z=b\end{cases}\Rightarrow ab=1}\)
\(BĐT\Leftrightarrow\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge4\)
Ta có
\(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{\left(a-\frac{1}{a}\right)^2}+a^2+\frac{1}{a^2}\)
\(=\frac{1}{\left(a-\frac{1}{a}\right)^2}+\left(a-\frac{1}{a}\right)^2+2\)
\(\ge2+2=4\)
SW
1
VT
15 tháng 10 2019
áp dụng bct cosy \(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\ge2\sqrt{\frac{xy}{z}.\frac{yz}{x}}=2y;\)\(\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\ge2z;\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}\ge2x\)
=> 2A \(\ge2\left(x+y+z\right)=2=>A\ge1\)
Min A =1 khi x=y=z= 1/3
30 tháng 5 2020
\(x\left(x-z\right)+y\left(y-z\right)=0\)\(\Leftrightarrow\)\(x^2+y^2=z\left(x+y\right)\)
\(\frac{x^3}{z^2+x^2}=x-\frac{z^2x}{z^2+x^2}\ge x-\frac{z^2x}{2zx}=x-\frac{z}{2}\)
\(\frac{y^3}{y^2+z^2}=y-\frac{yz^2}{y^2+z^2}\ge y-\frac{yz^2}{2yz}=y-\frac{z}{2}\)
\(\frac{x^2+y^2+4}{x+y}=\frac{z\left(x+y\right)+4}{x+y}=z-x-y+\frac{4}{x+y}+x+y\ge z-x-y+4\)
Cộng lại ra minP=4, dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
MP
1
