Chứng minh:\(\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{2013\sqrt{2014}}\) <2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
DD
31 tháng 7 2015
\(\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{4}}+...-\frac{1}{\sqrt{2013}-\sqrt{2014}}+\frac{1}{\sqrt{2014}-\sqrt{2015}}\)
\(=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2-3}-\frac{\sqrt{3}+\sqrt{4}}{3-4}+...+\frac{\sqrt{2014}+\sqrt{2015}}{2014-2015}\)
\(=-\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)+\sqrt{3}+\sqrt{4}-\left(\sqrt{4}+\sqrt{5}\right)+...+\sqrt{2014}+\sqrt{2015}\)
=\(-\sqrt{2}+\sqrt{2015}\)
15 tháng 10 2016
Chứng minh \(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\) rồi áp dụng với n = 1,2,....,2014
1 tháng 12 2016
Xét dạng tổng quát: \(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{n\left(n+1\right)}=\sqrt{n}.\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(=\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\sqrt{n}.\frac{1}{\sqrt{n}}+\sqrt{n}.\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(=\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\left(1+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}\right)< \left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\left(1+\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1}}\right)=2.\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
Thay vào đề bài ta có:
\(\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{2013\sqrt{2012}}\)
\(< 2.\left(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2012}}-\frac{1}{\sqrt{2013}}\right)\)
\(< 2.\left(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2013}}\right)\)
\(< 2.\left(1-\frac{1}{\sqrt{2013}}\right)< 2\left(đpcm\right)\)
Y
13 tháng 6 2019
2.+ \(\left(2n+1\right)^2=4n^2+4n+1>4n^2+4n\)
\(\Rightarrow2n+1>\sqrt{4n\left(n+1\right)}=2\sqrt{n\left(n+1\right)}\)
+ \(\frac{1}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}=\frac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}\)
\(=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2n+1}< \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2\sqrt{n\left(n+1\right)}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
Do đó : \(A< \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{48}}-\frac{1}{\sqrt{49}}\right)\)
\(\Rightarrow A< \frac{1}{2}\)
Y
13 tháng 6 2019
1. + \(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\left(n+1\right)-n}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}\)
\(< \frac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\cdot2\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}\left(n+1\right)}=2\cdot\frac{n+1-\sqrt{n\left(n+1\right)}}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=2\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
Do đó : \(A< 2\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2012}}-\frac{1}{\sqrt{2013}}\right)\)
\(\Rightarrow A< 2\)
Bài 2 tạm thời chưa nghĩ ra :))
18 tháng 12 2016
tớ cũng không biết đâu .Nếu tìm ra cách giải thì nhắn tin cho tớ nha
21 tháng 12 2016
Bài này trước tiên ta phải đi chứng minh công thức:
\(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
Xong áp dụng là ra thui.
S
13 tháng 6 2019
Đặt B là tên biểu thức
Với mọi n thuộc N*, ta có:
\(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{n\left(n+1\right)}=\sqrt{n}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(=\left(1+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< 2\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\) (*)
Áp dụng (*), ta được:
\(B< 2\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{2011}}-\frac{1}{\sqrt{2012}}+\frac{1}{\sqrt{2012}}-\frac{1}{\sqrt{2013}}\right)\)
\(=2\left(1-\frac{1}{\sqrt{2013}}\right)=2-\frac{1}{\sqrt{2013}}< 2\)
