Question

[Phạm Hồng Nguyên]

cho tam giác ABC nhọn , các đường cao AM BN CP của tam giác ABC cắt nhau tại H .Dựng hình bình hành BHCD.

a,CM: t/g APHN và ABDC là tứ giác nội tiếp.

b,gọi E là giao điểm của AD và BN.CM:AB.AH=AE.AC.

c, giả sử B,C cố định Athay đổi sao cho tam giác ABC nhọn và góc BAC ko đổi.CMR:đường tròn ngoại tiếp tứ giác APHN có diện tích không đổi.

Answer 1

[Nguyễn Thị Trà My]

a) tứ giácAPHN có góc P+góc N =180 độnên nội tiếp đc

vìABDC là HBH nên HC  song song BD,lại có CH vuông góc ABnên :góc ABD =90độ

chứng minh tương tự ta cũng có góc ACD=90 Độ

=> góc ABD+ góc ACD=180độ => tứ giác ABCD nôi tiếp đường tròn đường AD

b)Xét 2 tam giác ABE và ACH có :

 ABE=ACH ( cùng phụ với BAC )  (1)

BAE phụ với BDA;BDA=BCA  (góc nt cùng chắn CUNG AB )

CAH phụ với BCA(2)

Từ (1) và (2) suy ra 2 tam giác ABE, ACH đồng dạng 

=>\(\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AC}{AH}=>AB\cdot AH=AE\cdot AC\)

C)

Gọi I là trung điểm BC  => I cố định (Do B và C cố định)

 Gọi O là trung điểm AD => O cố định ( Do BAC không đổi, B và C cố định, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC )

=>độ dài OI không đổi

ABDC là hình bình hành => I là trung điểm HD

=>OI=\(\dfrac{1}{2}\)AH ( OI là đường trung bình tam giác ADH)

=>độ dài AH không đổi    

Vì AH là đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác APHN, độ dài AH không đổi => độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác APHN không đổi => đường tròn ngoại tiếp tứ giác APHN có diện tích không đổi