tìm tất cả các cặp số nguyên (a,b) thỏa mãn 4a+1 và 4b-1 nguyên tố cùng nhau và a+b là ước của 16ab+1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NB
9
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
25 tháng 5 2021
Thử lại.
Với \(a-3b=1\Leftrightarrow a=3b+1\):
\(4a+1=12b+5\).
Đặt \(d=\left(12b+5,4b-1\right)\)
Suy ra \(\hept{\begin{cases}12b+5⋮d\\4b-1⋮d\end{cases}}\Rightarrow12b+5-3\left(4b-1\right)=8⋮d\Leftrightarrow d\inƯ\left(8\right)\)mà \(d\)lẻ nên \(d=1\).
\(a+b=3b+1+b=4b+1\)
\(16ab+1=16b\left(3b+1\right)=48b^2+16b+1=\left(12b+1\right)\left(4b+1\right)⋮\left(4b+1\right)\)
Do đó thỏa mãn.
Trường hợp còn lại tương tự, và cũng thỏa mãn.
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
25 tháng 5 2021
Ta có:
\(\left(4a+1,4b-1\right)=1\Leftrightarrow\left(4a+1,4a+4b\right)=1\Leftrightarrow\left(4a+1,a+b\right)=1\)
\(\left(a+b\right)|\left(16ab+1\right)\Leftrightarrow\left(a+b\right)|\left(16ab+4a+4b+1\right)\Leftrightarrow\left(a+b\right)|\left(4a+1\right)\left(4b+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)|\left(4b+1\right)\)(1)
\(16ab+1=16a\left(b+a\right)-16a^2+1=16a\left(a+b\right)-\left(4a-1\right)\left(4a+1\right)\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)|\left(4a-1\right)\)(2)
lại có: \(\left(4a-1\right)+\left(4b+1\right)=4\left(a+b\right)\)mà \(a,b\inℕ^∗\)
kết hợp với (1), (2) suy ra \(a+b=k\left(4b+1\right),k=\overline{1,3}\)
Suy ra \(\orbr{\begin{cases}a-3b=1\\3a-b=1\end{cases}}\).
S
25 tháng 10 2020
thấy ngay \(p_6>2\text{ do đó: }VP\equiv1\left(\text{mod 8}\right)\text{ từ đó suy VP cũng đồng dư với 1 mod 8}\)
có bổ đề SCP LẺ chia 8 dư 1 do đó:
trong 5 số: \(p_1;p_2;...;p_5\text{ có 4 số chẵn; 1 số lẻ không mất tính tổng quát giả sử: }p_5\text{ lẻ}\Rightarrow16+p_5^2=p_6^2\text{(đơn giản)}\)
S
25 tháng 10 2020
\(p+1=2a^2;p^2+1=2b^2\Rightarrow p\left(p-1\right)=2\left(b-a\right)\left(b+a\right)\)
\(\text{thấy ngay p lẻ}\Rightarrow UCLN\left(p^2+1,p+1\right)=1;\Rightarrow\left(a,b\right)=1\Rightarrow\left(b-a,a+b\right)=1\)
thấy ngay p>b-a nên: \(p=a+b;p-1=2a-2b\text{ hay:}a+b=2b-2a+1\Leftrightarrow3a=b+1\)
đến đây thì đơn giản
29 tháng 6 2015
xét 1 trong a hoặc b là số nguyên tố lẻ thì 0<a,b<10.
+ Các số nguyên tố thõa mãn là 3;5;7.
=> Số còn lại lần lượt là 7;5;3
=> Chỉ có các số nguyên tố 3,7,9 thõa mãn.
. Nếu 1 trong 2 a,b là số chẵn ( = 2,4,6,8) thì hai số luôn có ước 1, 2, chính nó,..... không nguyên tố cùng nhau.
+ Các số lẻ còn lại chỉ còn số 9 thõa mãn.
=> Số còn lại bằng 1
Bạn tự xét các cặp a,b nha
30 tháng 6 2015
b) số nguyên tố chỉ có 2 ước là 1 và chính nó:
nếu tổng các ước là 1 => 1 + số đó = 18 => số đó = 18 - 1 = 17 là số nguyên tố (nhận)
Nếu tổng các ước là 19 => 1 + số đó = 19 => số đó = 19 - 1 = 18 không là số nguyên tố => không tồn tại
27 tháng 5 2021
thật ra nó là lớp 7 đấy nhưng mình nghĩ lớp 8 mới giỏi mói giải đc
27 tháng 5 2021
Giả sử \(a^2+1\) và \(b^2+1\) cùng chia hết cho số nguyên tố p
\(\Rightarrow a^2-b^2⋮p\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)⋮p\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a-b⋮p\\a+b⋮p\end{matrix}\right.\).
+) Nếu \(a-b⋮p\) thì ta có \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)-\left(a-b\right)^2⋮p\Rightarrow\left(ab+1\right)^2⋮p\Rightarrow ab+1⋮p\) (vô lí do (a - b, ab + 1) = 1)
+) Nếu \(a+b⋮p\) thì tương tự ta có \(ab-1⋮p\). (vô lí)
Do đó \(\left(a^2+1,b^2+1\right)=1\).
Giả sử \(\left(a+b\right)^2+\left(ab-1\right)^2=c^2\) với \(c\in\mathbb{N*}\)
Khi đó ta có \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)=c^2\).
Mà \(\left(a^2+1,b^2+1\right)=1\) nên theo bổ đề về số chính phương, ta có \(a^2+1\) và \(b^2+1\) là các số chính phương.
Đặt \(a^2+1=d^2(d\in\mathbb{N*})\Rightarrow (d-a)(d+a)=1\Rightarrow d=1;a=0\), vô lí.
Vậy ....
